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Insieme: differenze tra le versioni

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Aggiunta di elementi riguardanti gli insiemi
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Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
 
* un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli [[insieme sfocato|insiemi sfocati]]);
* unUn elemento non può comparireappartenere piùo dinon unaappartenere volta ina un determinato insieme, (mentrenon puòci compariresono piùvie voltedi inmezzo un(come accade invece per gli [[multiinsiemeinsieme sfocato|insiemi sfocati]]);
* Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un [[multiinsieme]]);
* gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade alle componenti di un [[Vettore (matematica)|vettore]] o di una [[ennupla]]);
* gliGli elementi di un insieme lonon caratterizzanohanno univocamente:un dueordine insiemidi coincidonocomparizione [[se(come einvece soloaccade sealle componenti di un [[Vettore (matematica)|vettore]] hannoo glidi stessiuna elementi.[[ennupla]]);
* Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono [[se e solo se]] hanno gli stessi elementi.
 
Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i [[diagramma di Eulero/Venn|diagrammi di Eulero-Venn]].
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Un insieme può essere definito nei seguenti modi:
 
* Per ''elencazione'' o in ''estensione'': sono elencati gli elementi, in tal caso per convenzione si scrivono gli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:
:: <math>F = \{ \mbox{rosa, giglio, geranio} \}</math>
:questa Questa definizione si utilizza per gli insiemi finiti; per gli insiemi infiniti talvolta si usano puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il criterio secondo cui si individuano gli elementi non indicati; ad esempio:
:: <math>P=\left\{1,\frac1 2 , \frac 1 3 , \frac 1 4 , \frac 1 5, \, ...\right\}</math>
* Per ''proprietà caratteristica'' o in ''comprensione'': come l'insieme degli oggetti che verificano una determinata proprietà <math>P</math>. In tal caso si usa la scrittura <math>\{x | P(x)\}</math> dove al posto di <math>P(x)</math> può comparire la descrizione d'una proprietà. Es. : ''F'' = { ''x'' | ''x'' è un fiore} (<math>F</math> è definito come l'insieme degli ''x'' tali che ''x'' è un fiore), <math>F = \left\{x| x=\frac 1 n \mbox{ con } n \mbox{ numero intero positivo} \right\}</math>.
 
== Cardinalità ==
{{vedi anche|Cardinalità|Numero cardinale}}
 
La '''cardinalità''' di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme <math>\{ a, b, c\}</math> ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb{N}</math> ha invece cardinalità <math>\aleph_0</math>, il primo [[Numero cardinale#Numeri_alephNumeri aleph|cardinale infinito]].
 
Un insieme si dice ''finito'' se ha un numero finito di elementi, ''infinito'' se contiene infiniti elementi.
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[[File:Venn0010.svg|upright=0.7|thumb|[[Insieme complemento|Differenza]] di due insiemi]]
[[File:Venn0110.svg|upright=0.7|thumb|[[Differenza simmetrica]] di due insiemi]]
 
Le principali [[operazione binaria|operazioni]] tra insiemi sono:
* l<nowiki>'</nowiki>''[[unione (insiemistica)|unione]]'' di due insiemi ''A'' e ''B'': si indica con <math>A\cup B</math> ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di ''A'' o ''B o entrambi'' presi una sola volta;
 
* lL<nowiki>'</nowiki>''[[intersezioneunione (insiemistica)|intersezioneunione]]'' di due insiemi ''A'' e ''B'': si indica con <math>A\capcup B</math> ed è data dalll'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insiemedi ''A'' che all'insiemeo ''B o entrambi'' contemporaneamentepresi una sola volta;
 
* la L<nowiki>'</nowiki>''[[Insiemeintersezione complemento(insiemistica)|differenzaintersezione]]'' tradi due insiemi ''BA'' e ''AB'': si indica con <math>BA\setminuscap A</math> o con <math>B - A</math> ed è data dall'insieme formato daida solitutti gli elementi di ''B'' che non appartengono adsia all'insieme ''A''. <math>B\setminus A</math> viene anche dettoche all''[[insieme complemento#Complemento assoluto|insieme complementare]]'' di ''AB'' in ''B''contemporaneamente;
 
* La ''[[Insieme complemento|differenza]]'' tra ''B'' e ''A'' si indica con <math>B\setminus A</math> o con <math>B - A</math> ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di ''B'' che non appartengono ad ''A''. <math>B\setminus A</math> viene anche detto ''[[insieme complemento#Complemento assoluto|insieme complementare]]'' di ''A'' in ''B'';
* la ''[[differenza simmetrica]]'' tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad ''A'' e non a ''B'' oppure che appartengono a ''B'' e non ad ''A''. Si indica con <math>A\Delta B = ( A \setminus B ) \cup ( B \setminus A)</math>;
 
* ilLa ''[[prodottodifferenza cartesianosimmetrica]]'' ditra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad ''A'' e non a ''B'' èoppure l'insiemeche diappartengono tuttea le''B'' possibilie [[Coppianon (matematica)|coppiead ordinate]]''A''. <math>(a,b)</math>Si indica con <math>a A\inDelta B = ( A</math> e\setminus <math>bB ) \incup ( B \setminus A)</math>.;
 
* Il ''[[prodotto cartesiano]]'' di due insiemi ''A'' e ''B'' è l'insieme di tutte le possibili [[Coppia (matematica)|coppie ordinate]] <math>(a,b)</math> con <math>a \in A</math> e <math>b \in B</math>.
 
== Relazioni tra insiemi ==
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Due insiemi ''A'' e ''B'' si dicono inoltre:
 
* ''coincidentiCoincidenti'', se sono ''lo stesso insieme'': questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi;
* ''[[Disgiunzione|disgiuntiDisgiunti]]'', se non hanno nessun elemento in comune.
 
''B'' è '''[[sottoinsieme]]''' di ''A'' se ''A'' contiene gli elementi di ''B''. Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:
 
: <math>B \subseteq A</math>
 
Se si vuole escludere che ''B'' coincida con ''A'', cioè prevedere che esistono elementi di ''A'' non contenuti in ''B'', si usa la notazione:
 
: <math>B \subset A</math>
 
che si legge: "''B è un sottoinsieme proprio di A''" oppure "''B è [[inclusione|incluso]] propriamente in A''" oppure "''B è contenuto propriamente in A''". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.
 
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== La partizione di un insieme ==
 
Si chiama '''partizione''' dell'insieme A un insieme di sottoinsiemi di A che ha queste caratteristiche:
 
* ogniOgni sottoinsieme non è vuoto;
* tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;▼
* l'unione di tuttiTutti i sottoinsiemi èsono disgiunti tra Aloro;
▲* L'unione di tutti i sottoinsiemi sono disgiunti traè loro;A
 
== L'insieme complementare di un insieme ==
 
Dati gli insiemi A e B, con B<math>\subseteq</math>A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è A-B. Lo indichiamo con <math>C_A</math>(B).
 
== Insiemi numerici ==
 
[[File:Diagramma di Venn dei numeri.svg|thumb|upright=1.4|[[Diagramma di Venn]] di alcuni insiemi numerici notevoli]]
 
Alcuni insiemi, detti ''numerici'', hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:
 
* L'insieme <math>\N</math> dei [[numero naturale|numeri naturali]]
* L'insieme <math>\Z</math> dei [[numero intero|numeri interi]]
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Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:
 
: <math> \N \subset \Z \subset \mathbb{Q} \subset \R \subset \C \subset \mathbb{H}.</math>
 
Più propriamente si dovrebbe parlare di [[immersione (matematica)|immersione]] di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro.
 
== Note ==
<references/>▼
 
▲<references/>
== Bibliografia ==
 
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|cid =lang}}
* {{cita libro|Seymour|Lipschutz|Topologia|1979|Etas Libri|Sonzogno}}
* {{en}} Paul Halmos (1960): ''Naive set theory'', D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
* {{fr}} [[Nicolas Bourbaki]] (1968): ''Théorie des ensembles'', Hermann.
 
== Voci correlate ==
 
* [[Teoria degli insiemi]]
* [[Teoria ingenua degli insiemi]]
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== Collegamenti esterni ==
 
* {{Thesaurus BNCF}}
 
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{{Controllo di autorità}}
 
{{Portale|Matematica}}
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Insieme"