Curvatura scalare: differenze tra le versioni
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<math>R = g^{ij}R_{ij}.</math>
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Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo <math>(0,2)</math>, ovvero una [[forma bilineare]]. La curvatura scalare è la [[traccia (matrice)|traccia]] di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del [[tensore metrico]] <math>g</math>, presente nella formula.
La curvatura scalare è un tensore di tipo <math>(0,0)</math>, ovvero una funzione.
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== Proprietà ==
=== Simboli di Christoffel ===
In un [[sistema di coordinate]], la curvatura scalare dipende dai [[simboli di Christoffel]] e dalle loro [[derivata parziale|derivate parziali]] nel modo seguente:
:<math>R = g^{ab} \left(\frac{\partial\Gamma^c_{ab}}{\partial x_c} - \frac{\partial\Gamma^c_{ac}}{\partial x_b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd}\right)</math>
=== Volume ===
La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.
Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto <math>p</math> della varietà riemanniana <math>M</math> ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello [[spazio euclideo]]. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio <math>\varepsilon</math> è dato da
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