Funzione quadratica: differenze tra le versioni
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In [[algebra]], una '''funzione quadratica''' è una [[Funzione (matematica)|funzione]] in una o più variabili definita in modo esplicito attraverso un [[polinomio]] di secondo grado. Ad esempio, una funzione quadratica nelle variabili ''x'', ''y'', ''z'' ha la seguente forma generale:
<math>f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j</math> con almeno uno tra <math>a, b, c, d, e, f</math> diverso da 0.
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<math>f(x)=ax^2+bx+c</math>
Il suo [[Grafico di una funzione|grafico]] è una [[Parabola (geometria)|parabola]] con l'[[Asse di simmetria della parabola|asse di simmetria]] parallelo all'asse ''y''. Uguagliando a zero una funzione quadratica si ottiene una [[equazione di secondo grado]]; le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono dette radici del polinomio associato.
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|Grafico di una funzione quadratica definita da un polinomio di secondo grado con due radici reali e nessuna radice complessa]]
Una funzione quadratica in due variabili ha forma:
<math>f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f</math> con <math>a, b, c</math> non contemporaneamente nulli. Il grafico di una funzione quadratica è, in generale, una [[ipersuperficie]] detta [[quadrica]].
Il sottoinsieme di <math> \mathbb{R} ^2</math> descritto da <math>f(x,y)=0</math> è una [[sezione conica]] ([[ellisse]], [[circonferenza]], [[Parabola (geometria)|parabola]], [[Iperbole (geometria)|iperbole]]).
I coefficienti del polinomio che definisce la funzione possono essere [[numeri reali|reali]] o [[numeri complessi|complessi]], perché un polinomio può essere definito su qualunque [[anello (algebra)|anello]].
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==Etimologia==
L'aggettivo ''quadratico '' deriva dal [[Lingua latina|latino]] ''quadratum'' (quadrato). Un termine di secondo grado <math>x^2</math> è detto quadrato perchè rappresenta l'area di un quadrato di lato <math>x</math>.
==Forme nel caso in una variabile==
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[[File:Function x^2+bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2+bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]
[[File:Function x^2-bx.svg|thumb|350px|<math>f(x)=ax^2-bx|_{b=\{1, 2, 3, 4\}}\!</math>]]
A prescindere dalla forma dell'espressione, il
Se <math>a>0</math>, la parabola [[Funzione convessa|volge la concavità verso l'alto]]; se <math>a<0</math>, la parabola [[Funzione concava|volge la concavità verso il basso]].
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*Fuoco e direttrice in <span style=''color:pink>rosa</span>]]
[[File:quadratic_function_graph_complex_roots.svg|thumb|Visualizzazione delle radici complesse di una funzione quadratica: la parabola è ruotata di 180° intorno al suo vertice (<span style=''color:orange''>arancione</span>). Le sue intersezioni con l'asse ''x'' sono ruotati di 90° intorno al loro punto medio e il piano cartesiano è interpretato come il [[piano complesso]]<ref>{{cita web|url=http://math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.1.shtml|titolo=Complex Roots Made Visible - Math Fun Facts|accesso=1 ottobre 2016}}</ref>]]
Le radici (o zeri) di una
<math> x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math>.
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==Radice quadrata della funzione in una variabile==
La funzione data dalla [[radice quadrata]] di una funzione quadratica in una variabile ha forma <math>f(x)=\sqrt{ax^{2}+bx+c}</math> ed ha come grafico una [[ellisse]] o una [[Iperbole (geometria)|iperbole]].
Se <math>a>0</math> il grafico è un'iperbole. La direzione dell' asse dell'iperbole è determinata dall'ordinata del vertice: se è negativa l'asse trasverso è verticale, se è negativa l'asse trasverso è orizzontale.
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{{vedi anche|Quadrica|Forma quadratica}}
Una funzione quadratica in due variabili è una
<math>f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f</math>
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==Voci correlate==
* [[Funzione (matematica)]]
* [[Equazione di secondo grado]]
* [[Forma quadratica]]
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