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In [[analisi matematica]], la '''classe C di una funzione''' indica l'appartenenza di una [[funzione di variabile reale|di variabile reale]] indica l'appartenenza della stessa all'insieme delle funzioni [[derivata|derivabili]] con [[funzione continua|continuità]] per un certo numero di volte. Si dice che una funzione definita su un insieme <math>A</math> è di classe <math>C^k(A)</math> se in <math>A</math> esistono tutte le derivate fino al <math>k</math>-esimo ordine, e la <math>k</math>-esima è continua. Si tratta, sostanzialmente, dello spazio delle [[Funzione differenziabile|funzioni differenziabili]]. Il sottoinsieme delle funzioni le cui prime <math>k</math> derivate sono [[funzione limitata|limitate]] è uno [[spazio vettoriale]].
La derivabilità rispetto ad una variabile garantisce la continuità della funzione rispetto a tale variabile, sicché lo spazio <math>C^1(\R)</math> delle funzioni differenziabili con continuità sul campo reale è contenuto nello spazio <math>C^0(\R)</math> delle funzioni continue. In generale, <math>C^k </math> è contenuto in <math>C^{k-1}</math> per ogni <math>k</math>.
==Definizione==
L'appartenenzaSia di<math>A</math> unaun sottoinsieme [[funzioneInsieme di variabile realeaperto|aperto]] di <math>f:A\subseteq\mathbb R^m \rightarrow \R^n</math>, cone <math>Ak \in \mathbb N</math>. Una [[insiemefunzione apertodi variabile reale]], alla<math>f:A \rightarrow \R^n</math>si dice '''di classe <math>C^k(A)</math>''' indica chese in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> fino al <math>k</math>-esimo ordine, ede essetali derivate parziali sono funzioni [[funzione continua|continue]]. SiL'insieme delle funzioni di classe <math>C^k</math> da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica generalmente come <math>C^k(A, \mathbb R^n)</math>; inoltre, è consuetudine porre anche <math>C^k(A) := C^k(A, \mathbb R)</math>. Se <math>k > 0</math>, si ha perciò che <math>f \in C^k(A, \mathbb R^n)</math> se e solo se:
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_r} \in C^{k-1}(A) \qquad \forall r=1,\ldots,m,
\quad \forall i=1,\ldots,n,</math>
dove <math>f_i</math> èindica la proiezione di <math>f</math> sulla <math>i</math>-esima componente.: Formalmenteformalmente, se per ogni <math>f_ii =\pi_i 1,\circ fldots,n</math>poniamo con:
<math> \begin{array}{ccccc}
:<math> \pi_i \colon \R^{n} \rightarrow \R \qquad \underline{x} \mapsto x_i</math>.
\pi_i & : & \R^{n} & \rightarrow & \R\\
& & a := (a_1,\ldots,a_n) & \mapsto & a_i
\end{array}</math>,
si ha <math>f_i:=\pi_i \circ f</math>.
La notazione <math>C^k (A)</math> può essere abbreviata semplicemente in <math>f\in C^k</math> se il dominio è ben noto.
Per la convenzione secondo cui l'unica derivata parziale di <math>f</math> di ordine <math>0</math> è <math>f</math> stessa, segue direttamente dalla definizione che <math>f \in C^0(A, \R^n)</math> se e solo se <math>f</math> è [[funzione continua|continua]]. Chiaramente, per ogni <math>k \in \mathbb N</math> risulta <math>C^{k+1}(A, \mathbb R^n) \subseteq C^k(A, \mathbb R^n)</math>.
In [[notazione di Lagrange]], <math>f \in C^k (A)</math> se e solo se:
Una funzione <math>f:A \rightarrow \R^n</math>si dice poi '''di classe <math>C^\infty</math>'''(o '''liscia''') se in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> di qualsiasi ordine, e tali derivate parziali sono funzioni [[funzione continua|continue]]. In altre parole, <math>f</math> è liscia se e solo se <math>f \in C^k(A, \mathbb R^n)</math> per ogni <math>k \in \mathbb N</math>.
:<math>f_{x_r}^{(n)}\in C^0(A) \qquad r=1,\ldots,m </math>
Infine, una funzione è di classe <math>C^0</math> (o più brevemente, è <math>C^0</math>) se è una [[funzione continua]].
Una funzione di classe <math>C^2</math> ha le derivate parziali prime e seconde sicuramente continue nel dominio. Una [[funzione liscia]] è una funzione di classe <math>C^{\infty}</math>: essa ha tutte le sue derivate parziali, di qualsiasi ordine <math>h\in\mathbb{N}</math>, continue.
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