Classe C di una funzione: differenze tra le versioni
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==Definizione==
Sia <math>A</math> un sottoinsieme [[Insieme aperto|aperto]] di <math>\mathbb R^m</math> e <math>k \in \mathbb N</math>. Una [[funzione di variabile reale]] <math>f:A \rightarrow \R^n</math>si dice '''di classe <math>C^k</math>''' se in ogni punto di <math>A</math> esistono tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] di <math>f</math> fino al <math>k</math>-esimo ordine, e tali derivate parziali sono funzioni [[funzione continua|continue]]. L'insieme delle funzioni di classe <math>C^k</math> da <math>A</math> in <math>\mathbb R^n</math> si indica generalmente con <math>C^k(A, \mathbb R^n)</math>; inoltre, è consuetudine porre anche
:<math>\frac{\partial f_i}{\partial x_r} \in C^{k-1}(A) \qquad \forall r=1,\ldots,m,
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==Esempi==
* L'[[esponenziale]] <math>\textrm{exp} : \R \rightarrow \R,\; \textrm{exp}(x) := e^x</math> è una funzione di classe <math>C^{\infty}</math>, in quanto ha ogni derivata uguale a se stessa: <math>D^k(\textrm{exp})=\textrm{exp}</math> per ogni <math>k \in \N</math>; più precisamente, <math>\textrm{exp}</math> è una funzione analitica.
* L'identità <math>\textrm{id}_{\R}</math>è di classe <math>C^{\infty}
* La [[tangente (matematica)|tangente]] è una funzione di classe <math>C^{\infty} (\R \setminus \left ( \pi /2 + \pi \Z \right ))</math>, cioè in tutto il suo insieme di definizione.
* La funzione <math>|x|</math> è di classe <math>C^0</math>; essa appartiene a <math>C (\R) \cap C^{\infty} (\R \setminus \left \{ 0 \right \}) </math>, in quanto in <math>0</math> non è derivabile.
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