Teorema di Lagrange: differenze tra le versioni
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:<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=0\; \text{e quindi}\; \ f(\beta )=f(\alpha)</math>
Visto che <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi <math>f(x)= k</math> per ogni <math>x\in I</math> (cioè <math>f(x)</math> è costante nell'intervallo).
=== Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo ===
Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni derivabili in un intervallo <math>I</math> e sia <math>f'(x)=g'(x)</math> per ogni <math>x\in I</math>. Allora le due funzioni differiscono per una costante <math>c\in\R</math>, cioè
:<math>f(x)=g(x)+c \quad \forall x \in I</math>
==== Dimostrazione ====
Si prenda <math>h(x)=f(x)-g(x)</math>. Per ipotesi si ha <math>h'(x)=f'(x)-g'(x)</math> per ogni <math>x\in I</math>. Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione <math>h(x)</math> è costante nell'intervallo <math>I</math>, cioè <math>h(x)=f(x)-g(x)=c</math> per un determinato <math>c\in\R</math>, e quindi
:<math>f(x)=g(x)+c \quad \forall x \in I</math>
=== Monotonia a partire dalla derivata ===
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:<math>\exists c\in(x_1,x_2):\frac{f(x_2 )-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime}(c)</math>
Dato che <math>f'(x)\ge 0</math> <math>\forall x \in I</math> si ha che
:<math> \frac {f(x_2 )-f(x_1)}{x_2 -x_1} \ge 0 </math>
Ora, dato che <math>x_1<x_2</math>, per essere vera la formula appena scritta deve essere <math>f(x_1)\le f(x_2)</math> e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti ad <math>I</math>, possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.
==== Derivata positiva ====
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