Distribuzione Gamma: differenze tra le versioni
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* <math>\mathrm{Gamma}(1,{\lambda})=\mathcal{E}({\lambda})</math> è la [[distribuzione esponenziale]];
* <math>\mathrm{Gamma}(\tfrac{n}{2},1/2)=\chi^2(n)</math> è la [[distribuzione chi quadrato]];
* Se <math>
Nell'[[inferenza bayesiana]] la distribuzione Gamma può descrivere sia ''a priori'' che ''a posteriori'' di un'osservazione il parametro <math>X</math> di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della [[distribuzione esponenziale]] e della [[distribuzione di Poisson]].
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Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di <math>k\rightarrow 0^+</math> e <math>k\rightarrow +\infty</math>, pertanto procediamo con il calcolo della derivata.
<math>\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k}\right)_{k=\hat{k}}\!\!\!\!\!=
e^{-\frac{1}{\theta}\sum x_i} \left(\prod x_i\right)^{\hat{k}-1}\left[
\frac{\ln\left(\prod x_i\right)}{\theta^{n\hat{k}}\Gamma^{n}(\hat{k})} - n\frac{\ln(\theta)+\psi_0(\hat{k})}{\theta^{n\hat{k}}\Gamma^{n}(\hat{k})}\right]=
\frac{e^{-\frac{1}{\theta}\sum x_i} \left(\prod x_i\right)^{\hat{k}-1}}{\theta^{n\hat{k}}\Gamma^n(\hat{k})}
\left[\ln\left(\prod \frac{x_i}{\theta}\right)-n\psi_0(\hat{k})\right]
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Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo
<math>\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k}\right)_{k=\hat{k}}\!\!\!\!\!=0\,\Rightarrow\,
\ln\left(\prod \frac{x_i}{\theta}\right)-n\psi_0(\hat{k})=0\,\Rightarrow\,
\psi_0(\hat{k})=\ln\left(\sqrt[n]{\prod \frac{x_i}{\theta}}\right)
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</math>
Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto (ovvero per una popolazione con <math>n</math>molto grande), ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere k, allora sarebbe un corretto stimatore.
Calcoliamo quindi
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