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Distribuzione Gamma

Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Parametri e
oppure
e
(, )
Supporto
Funzione di densità
(con la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione
( è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso
Moda se
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
(con la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti per
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

DefinizioneModifica

La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi,  . A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi  , sia tramite la coppia di numeri positivi  . Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni   e  . Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma .

La sua funzione di densità di probabilità è

 ,

dove   è la funzione Gamma di Eulero.

Possiamo osservare che se   vale che  

La sua funzione di ripartizione è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata

 ,

dove   è la funzione Gamma incompleta inferiore.

CaratteristicheModifica

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri   sono 

 

Dove si effettua la solita sostituzione   per ottenere la rappresentazione integrale della funzione Gamma di Eulero.

In particolare la distribuzione ha

  • valore atteso  ,
  • varianza  ,
  • indice di asimmetria  
  • indice di curtosi  

Funzione generatrice di momenti

 

  che esiste per ogni valore di t tale che  

ProprietàModifica

Se   segue la distribuzione Gamma  allora   segue la distribuzione Gamma .

Se   sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma , allora la loro somma   segue la distribuzione Gamma .

Altre distribuzioniModifica

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni:

  • se   è un numero naturale si ottiene la distribuzione di Erlang;
  •   è la distribuzione esponenziale;
  •   è la distribuzione chi quadrato;
  • Se   segue una distribuzione di Maxwell-Boltzmann di parametro  allora  è distribuito secondo  .

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro   di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa   di una variabile aleatoria   che segue la distribuzione Gamma.

Se   e   sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni   e  , allora   segue la distribuzione Beta  , mentre   segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore  , descritto da   variabili aleatorie indipendenti   di distribuzioni  , segue una distribuzione di Dirichlet di parametri  .

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione  .

StimatoriModifica

Calcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri   e  .

Per farlo adottiamo il metodo della massima verosimiglianza, pertanto cominciamo con lo scrivere la funzione di verosimiglianza dato il campione

 

 

Cominciamo con il determinare  , il parametro più semplice da stimare.

Notiamo che la funzione di verosimiglianza è ovunque positiva e nel limite degli estremi di  , si annulla.

 

 

Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo.

 

Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione

 

Ed ecco il nostro stimatore di  , che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro k (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si può notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore è proprio  , data la linearità dell'operatore.

 

Ricordiamo  

 

Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per  

Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di   e  , pertanto procediamo con il calcolo della derivata.

 

Con   indichiamo la funzione digamma così definita

 

Che può essere espressa mediante una relazione integrale

 

Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo

 

La funzione digamma, nei reali positivi è strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa

 

Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto (ovvero per una popolazione con   molto grande), ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere k, allora sarebbe un corretto stimatore.

Calcoliamo quindi

 

dove abbiamo usato la linearità del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua.

 

Ovviamente tutti gli integrali nella i-esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma dà n volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione t.

 

e il risultato di quest'ultimo integrale è proprio   per qualunque k con parte reale positiva. Abbiamo quindi ottenuto l'identità

  che non è sufficiente a dire che lo stimatore sia corretto (non solo per n grandi), ma è tuttavia necessario.

In effetti dalla disuguaglianza di Jensen (secondo cui   per una qualunque variabile aleatoria X e una funzione convessa  ) si ottiene un risultato più forte grazie al fatto che la funzione   è convessa su tutto il suo dominio

Infatti usando la disuguaglianza di Jensen per   e  risulterà

 

dall'uguaglianza ottenuta in precedenza il membro di sinistra si semplifica così da avere

 

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma, in MathWorld, Wolfram Research.

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