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Dimensione di Krull: differenze tra le versioni

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Un [[campo (matematica)|campo]], avendo un unico ideale primo (quello composto solo dallo 0) ha dimensione 0; invece, ad esempio, l'anello <math>\mathbb{Z}</math> degli interi ha dimensione 1, in quanto gli unici ideali primi non nulli sono i (''p''), dove ''p'' è un [[numero primo]], e se ''p'' e ''q'' sono primi distinti, allora (''p'') non è contenuto in (''q'') (e viceversa); quindi le catene massimali di ideali primi sono le <math>(0)\subset (p)</math>. Questo avviene, più in generale, in tutti i [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]], che hanno quindi dimensione 1.
 
Negli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]] gli ideali primi soddisfano sia la [[condizione della catena ascendente]] che quella della catena discendente, e quindi ogni catena di ideali primi è finita. Questo tuttavia non è sufficiente a garantire che le catene abbiano una lunghezza finita "uniformemente", cioè che ogni catena sia più corta di ''n'', per un ''n'' fissato: un esempio di anello noetheriano di dimensione infinita fu costruito da [[Masayoshi Nagata]].<ref>{{cita|Atiyah, Macdonald|p.126|Atiyah}}</ref> Per anelli noetheriani [[anello locale|locali]], tuttavia, la dimensione è necessariamente finita.
 
=== Dimensioni basse ===
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