Identità di Legendre-de Polignac: differenze tra le versioni
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In [[teoria dei numeri]], l''''identità di Legendre-de Polignac''' (o anche solo '''identità di Legendre'''), da [[Adrien-Marie Legendre]] e [[Alphonse de Polignac]], fornisce
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==L'identità==
Per ogni numero primo ''p'' ed ogni intero positivo ''n'', <math>v_p(n)</math>indica l'esponente della maggiore potenza di un numero primo ''p'' che divide ''n'' (la [[Valutazione p-adica|valutazione ''p''-adica]] di ''n''). Allora
:<math>\upsilon_p(n!) = \sum_{j = 1}^\infty\left\lfloor\frac{n}{p^j}\right\rfloor</math>
=== Esempio ===
Per ''n'' = 6, si ha <math>{\displaystyle 6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}}</math>. Gli esponenti <math>{\displaystyle \nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2}</math>e <math>{\displaystyle \nu _{5}(6!)=1}</math>possono essere ottenuti dalla identità di Legendre in questo modo:
<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{j=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{j}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}}</math>
=== Dimostrazione ===
Essendo <math>n!</math>il prodotto degli interi da 1 a ''n,'' otteniamo almeno un fattore di ''p'' in <math>n!</math>per ogni multiplo di ''p'' in <math>{\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}</math>, che sono in numero pari a <math display="inline">\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor</math>. Ogni multiplo di <math>p^2</math>apporta un ulteriore fattore di ''p,'' ogni multiplo di <math>p^3</math>apporta ancora un altro fattore di ''p,'' etc. La somma del numero di questi fattori produce la somma infinita per <math>v_p(n!)</math>.
== Forma alternativa ==
Si può riformulare l'identità di Legendre-de Polignac in termini dell'espansione in [[Notazione posizionale|base-''p'']] di ''n''. Con <math>{\displaystyle s_{p}(n)}</math>si denota la somma delle cifre dell'espansione in base-''p'' di ''n.'' Allora
<math>{\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}</math>
=== Esempio ===
Scrivendo ''n'' = 6 in binario come 6<sub>10</sub> = 110<sub>2</sub> , abbiamo che <math>{\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2} </math>e quindi
<math>{\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.}</math>
Similmente, scrivendo ''n'' = 6 in ternario come 6<sub>10</sub> = 20<sub>3</sub> , abbiamo che <math>{\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2}</math>e quindi
<math>{\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.}</math>
=== Dimostrazione ===
Scrivendo <math>n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}</math>in base ''p'' si ottiene che <math>\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{{\ell -j}}+\cdots +n_{{j+1}}p+n_{j} </math> . Allora
<math>{\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left\lfloor {\frac {n}{p^{j}}}\right\rfloor \\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\left(n_{\ell }p^{{\ell -j}}+\cdots +n_{{j+1}}p+n_{j}\right)\\&=\sum _{{j=1}}^{{\ell }}\sum _{{i=j}}^{{\ell }}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}\sum _{{j=1}}^{{i}}n_{i}p^{{i-j}}\\&=\sum _{{i=1}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&=\sum _{{i=0}}^{{\ell }}n_{i}\cdot {\frac {p^{i}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{{i=0}}^{{\ell }}\left(n_{i}p^{i}-n_{i}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}</math>
== Applicazioni ==
▲da cui segue l'utile disuguaglianza
L'identità di Legendre-de Polignac è utilizzata per dimostrare il [[teorema di Kummer]]. Può anche essere utilizzata per dimostrare che se ''n'' è un intero positivo, allora 4 divide <math>{\binom {2n}{n}}</math> se e solo se ''n'' non è una potenza di 2.
Segue all'identità di Legendre-de Polignac che la [[Funzione esponenziale p-adica|funzione esponenziale ''p''-adica]] ha raggio di convergenza <math>p^{{-1/(p-1)}}</math>.
▲:<math>\upsilon_p(n!) \leq \frac{n}{p - 1}</math>
== Bibliografia ==
* Tom M. Apostol (1976): ''Introduction to Analytic Number Theory'', Springer, (Chapter 3.11)
*Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
*Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, <nowiki>ISBN 978-0821887950</nowiki>, MR 2963308, page 77
*Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.
== Voci correlate ==
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* [[Parte intera]]
* [[Valutazione p-adica]]
*[[Notazione posizionale|Base-p]]
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