Quasi-anello

In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

$x(y+z)=xy+xz$

e di quasi-anelli destri se

$(y+z)x=yx+zx$.

Definizione formale

L'insieme $R$, dotato di due operazioni binarie $+$ e $\cdot$, è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

• $(R,+)$ è un gruppo con elemento neutro $0$;
• $(R,\cdot )$ è un semigruppo;
• La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma: $x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$.

Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

Giustificazione

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo $G$ e sia $M(G)$ la famiglia di tutte le funzioni

$f\colon G\to G$

di $G$ su se stesso (inteso come insieme).

Definiamo la somma in $M(G)$:

$\forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f+g)(x)\equiv f(x)+g(x)$

ove $(f+g)$ è la somma definita in $M(G)$, mentre $f(x)+g(x)$ è la somma in $G$.

Definiamo il prodotto in $M(G)$:

$\forall f,g\in M(G){\text{ e }}x\in G{\text{ sia }}(f\cdot g)(x)\equiv (f\circ g)(x)$

ove $(f\cdot g)$ è il prodotto definito in $M(G)$, mentre $(f\circ g)$ è la usuale composizione di funzioni.

Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme $M(G)$ di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di $M(G)$ per un opportuno gruppo $G$.

Quasi-anelli con unità

Se $R$ contiene l'elemento neutro $1$ rispetto al prodotto, diremo che $R$ è un quasi-anello con unità.

Quasi-anelli zerosimmetrici

Sia $R$ un quasi-anello sinistro. Per ogni $x\in R$ vale l'uguaglianza $x0=0$ (ove $0$ è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

$xx=x(x+0)=xx+x0.$

In genere, però, non è detto che sia $0x=0$; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga $x\in R$, sono detti zerosimmetrici.

Quasi-corpi

Un quasi-corpo è un quasi-anello $K$ i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.

Ideali in un quasi-anello

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro $R$ un suo sottoinsieme $I$ tale che: 1) $(I,+)$ è un sottogruppo normale di $(R,+)$; 2) $r\cdot i$ appartiene a $I$ per ogni $i$ di $I$ e per ogni $r$ di $R$; 3) $(x+i)y-xy$ appartiene a $I$ per ogni $i$ di $I$ e per ogni $x,y$ di $R$.

Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che $I$ è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che $I$ è un ideale destro.

Collegamenti esterni

• Near Ring Main Page (Johannes Kepler Universität Linz)