Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

dove è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

dove il termine è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è , se invece è una corrente elettrica allora .

Spettro di potenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Rappresentazione spettrale dei segnali.

Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

 

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

 

dove   sono gli spettri dei segnali   rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

 

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di  , allora:

 

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

 

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare.

In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è data da:

 

Se ricordiamo che:

 

dove   è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

 

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

 

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza  .

Voci correlateModifica