Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler,[1] tramite la relazione

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se .[2] Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo.[3] Ciò è verificato dal teorema del redshift.

Ipotesi

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Supponiamo che l'universo si stia espandendo,[4] e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala   per cui possiamo ipotizzare

 

dove   è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

Teorema del redshift

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Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda   è proporzionale al fattore di scala dell'universo.[5]

Consideriamo la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker[6][7]

 

dove   è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente   dalla terra (che assumiamo posta nel punto  ) e sotto i due angoli costanti   e  . In tali condizioni la metrica si riduce a

 

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre   ottenendo

 

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo   e ricevuta ad un tempo  , e la seconda emessa ad un tempo   e ricevuta ad un tempo  .

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

 
 

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

 
 
 

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo  . Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

 

e quindi

 

moltiplicando e dividendo il primo membro per   si ottiene

 

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

Il redshift cosmologico

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Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso"[8] abbiamo:

 

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

 
  1. ^ Markus Possel, Waves, motion and frequency: the Doppler effect, su Einstein Online, Vol. 5, Max Planck Institute for Gravitational Physics, Potsdam, Germany, 2017. URL consultato il 4 settembre 2017 (archiviato dall'url originale il 14 settembre 2017).
  2. ^ Karachentsev, Local galaxy flows within 5 Mpc, in Astronomy and Astrophysics, vol. 398, 2003, pp. 479–491, Bibcode:2003A&A...398..479K, DOI:10.1051/0004-6361:20021566.
  3. ^ Edward Robert Harrison, Cosmology: The Science of the Universe, seconda edizione, Cambridge University Press, 2000, pp. 306ff, ISBN 0-521-66148-X.
  4. ^ EF Bunn & DW Hogg, The kinematic origin of the cosmological redshift, in ArXiv preprint, 2008.
  5. ^ Steven Weinberg, Cosmology, Oxford University Press, 2008, p. 3, ISBN 978-0-19-852682-7.
  6. ^ Cosmic Topology, vol. 254, Bibcode:1995PhR...254..135L, DOI:10.1016/0370-1573(94)00085-H, arXiv:gr-qc/9605010.
  7. ^ Theoretical and Observational Cosmology, vol. 541, ISBN 978-0792359463.
  8. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "bathochromic shift (effect)"

Voci correlate

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