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Spostamento verso il rosso cosmologico

Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler, tramite la relazione

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se . Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo. Ciò è verificato dal teorema del redshift.

IpotesiModifica

Supponiamo che l'universo si stia espandendo, e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala   per cui possiamo ipotizzare

 

dove   è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

Teorema del redshiftModifica

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda   è proporzionale al fattore di scala dell'universo.

Consideriamo la Metrica di Robertson - Walker

 

dove   è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente   dalla terra (che assumiamo posta nel punto  ) e sotto i due angoli costanti   e  . In tali condizioni la metrica si riduce a

 

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre   ottenendo

 

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo   e ricevuta ad un tempo  , e la seconda emessa ad un tempo   e ricevuta ad un tempo  .

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

 
 

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

 
 
 

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo  . Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

 

e quindi

 

moltiplicando e dividendo il primo membro per   si ottiene

 

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

Il redshift cosmologicoModifica

Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso" abbiamo:

 

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

 

Voci correlateModifica