Teorema di Kato-Rellich

il teorema di Kato-Rellich è un risultato di teoria degli operatori che trova ampia applicazione nella meccanica quantistica. Tale teorema dimostra che la somma di un operatore autoaggiunto e un operatore simmetrico, sotto opportune ipotesi, è un operatore autoaggiunto. Raramente questo risultato viene applicato per generare nuovi operatori autoaggiunti, piuttosto viene impiegato per dimostrare l'autoaggiuntezza di un operatore decomponendolo nella somma di due operatori che sono o noti o comunque più semplici da studiare.

Teorema (Kato-Rellich)

Siano $A$ e $B$ due operatori definiti rispettivamente nei domini ${\mathcal {D}}(A)$ e ${\mathcal {D}}(B)$. Si dice che $B$ è $A$-limitato se il dominio di $A$ è un sottoinsieme del domino di $B$, ${\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)$, ed esistono due costanti positive $a,b>0$ tali che

$\Vert B\psi \Vert \leq a\Vert A\psi \Vert +b\Vert \psi \Vert ,\;\forall \psi \in {\mathcal {D}}(A).$

Enunciato

Sia $A$ un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia $B$ un operatore simmetrico, A-limitato con $a<1$. Allora, $A+B$ è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio ${\mathcal {D}}(A+B)={\mathcal {D}}(A)$.

Applicazioni

Grazie al teorema di Kato-Rellich si può dimostrare quanto segue:

Teorema

Sia $n\in \mathbb {N}$ fissato e sia $V=V_{p}+V_{\infty }$ con $V_{p}$ l'operatore di moltiplicazione per la funzione $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$, dove $p=2$ se $1\leq n\leq 3$, $p>2$ se $n=4$ e $p={\frac {n}{2}}$ se $n>4$, e $V_{\infty }$l'operatore di moltiplicazione per la funzione $g\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Allora vale:

• $-\Delta +V$ è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ e sullo spazio di schwartz ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$;
• l'unica estensione autoaggiunta ${\overline {-\Delta +V}}$ è l'operatore $-{\bar {\Delta }}+V$ sul dominio ${\mathcal {D}}({\bar {\Delta }})$;
• lo spettro $\sigma ({\overline {-\Delta +V}})$ è limitato dal basso.

Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma $-\Delta +V.$

Bibliografia

• Note del corso di Metodi Matematici della Meccanica Quantistica, 2014. http://cdm.unimo.it/home/matematica/sacchetti.andrea/IstituzioniFisicaMatematica.pdf
• Moretti, Valter. Teoria spettrale e meccanica quantistica: operatori in spazi di Hilbert. Springer Science & Business Media, 2010.

Voci correlate

• Meccanica quantistica
• Teoria degli operatori
• Operatore autoaggiunto