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Spazio di Schwartz

In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida è lo spazio funzionale delle funzioni lisce le cui derivate (e le funzioni stesse) decrescono più velocemente di un qualsiasi potenza di 1/x.

Indicato con , lo spazio di Schwartz è caratterizzato dall'importante fatto che su di esso la trasformata di Fourier è un isomorfismo. Grazie a questa proprietà è possibile definire la trasformata di Fourier sugli elementi nello spazio duale di , che è lo spazio delle distribuzioni temperate.

Lo spazio di Schwartz prende il nome del matematico Laurent Schwartz.

DefinizioneModifica

Data una funzione  , si definisca:

 

dove   e   sono multiindici, e:

 

Lo spazio di Schwartz   su   è lo spazio funzionale:[1]

 

dove   è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da   a  . Su   consideriamo la topologia di spazio localmente convesso generato dalle seminorme  .

Ad esempio, se i è un multiindice e   è un numero reale positivo, allora   appartiene allo spazio di Schwartz. Anche ogni funzione   con supporto compatto appartiene a  . Questo è evidente per la continuità di ogni derivata, quindi   ha un massimo in  .

Lo spazio duale   di   è lo spazio delle distribuzioni temperate.

ProprietàModifica

  •   è uno spazio vettoriale complesso, cioè chiuso rispetto a somma e moltiplicazione per scalari complessi.
  • Usando la regola di Leibniz, segue che   è chiuso anche sotto moltiplicazione; se  , allora   appartiene ancora a  .
  • Per ogni  , si ha che   dove   rappresenta lo spazio Lp su  . Le funzioni in   sono anche funzioni limitate.
  •   è denso in   perché per esempio la base hilbertiana di     con   i polinomi di Hermite appartiene a  .

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 133.
  2. ^ Reed, Simon, Pag. 319.

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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