Teorema di continuità di Lévy

In teoria della probabilità, il teorema di continuità di Lévy (o teorema di convergenza di Lévy[1]), dal matematico francese Paul Lévy, lega la convergenza in distribuzione di una successione di variabili casuali con la convergenza puntuale delle loro funzioni caratteristiche. Questo teorema è alla base di un approccio per provare il teorema centrale del limite ed è uno dei più importanti teoremi sulle funzioni caratteristiche.

Teorema modifica

Supponiamo di avere

  • una successione di variabili casuali  , non aventi necessariamente lo stesso spazio di probabilità,
  • la successione delle corrispondenti funzioni caratteristiche  , che per definizione sono
 

dove   è l'operatore valore atteso.

Se la successione delle funzioni caratteristiche converge puntualmente a una qualche funzione  

 

allora sono equivalenti:

  •   cioè la successione delle distribuzioni cumulative delle variabili casuali converge in ogni punto di continuità;
  •   è tight, cioè  
  •   è la funzione caratteristica di una qualche variabile casuale X;
  •   è una funzione continua in t;
  •   è continua in t = 0.

Dimostrazione modifica

Dimostrazioni rigorose di questo teorema si possono trovare in .[1][2]

Note modifica

  1. ^ a b Williams (1991, sezione 18.1)
  2. ^ Fristedt & Gray (1996, teorema 18.21)

Bibliografia modifica


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