Teoria del primo ordine

sistema formale usato in matematica, filosofia, linguistica e informatica

Nella logica matematica una teoria del primo ordine o calcolo dei predicati è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico. La teoria del prim'ordine estende di fatto la logica proposizionale con l'introduzione di quantificatori esistenziali e univerali, predicati, funzioni, variabili e costanti, che apportano maggiore potenza espressiva al calcolo dei predicati[1].

Come per la logica proposizionale, la teoria del primo ordine può essere scissa in due parti separate:

  • la sintassi, che definisce il vocabolario simbolico di base e le regole per la costruzione di enunciati complessi,
  • la semantica, che interpreta questi enunciati come espressione delle relazioni tra gli elementi di un dominio, aggregati mediante un assegnamento.

Un predicato è un'espressione linguistica che può essere collegata a uno o più elementi del dominio per formare una frase. Ad esempio, nella frase "Marte è un pianeta", l'espressione "è un pianeta" è un predicato che è legato al nome (un simbolo costante) "Marte" per formare una frase. Nella frase "Giove è più grande di Marte", l'espressione "è più grande di" è un predicato che collega i due nomi, "Giove" e "Marte", per formare una frase.

In logica matematica, quando un predicato è legato a un'espressione, si dice che esprime una proprietà (come la proprietà di essere un pianeta nell'esempio precedente), e quando è legato a due o più espressioni, si dice che esprime una relazione (come la relazione per un pianeta di essere più grande di un altro). Così è ragionare su affermazioni come "Ogni x è bello" e "Esiste un x tale che per ogni y, x è amico di y", che simbolicamente è espresso dalla formula: .

Va notato che la teoria del primo ordine non contiene in sé nessuna relazione specifica (come una relazione d'ordine, inclusione o uguaglianza).

DefinizioneModifica

Gli elementi che definiscono una teoria del primo ordine sono:

Esempi di teorie del primo ordine sono l'aritmetica di Peano, l'aritmetica di Robinson, la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Dimostrazioni formaliModifica

Una dimostrazione di una formula   in una teoria del primo ordine T è una sequenza ordinata di formule

 

tale che

  •  
  • ogni formula   o è un assioma di T o è deducibile da una o più formule ad essa precedenti mediante una regola di inferenza.

Una formula che ha una dimostrazione formale in T si dice dimostrabile o derivabile. Se la formula   è dimostrabile in T si usa la notazione

 

o semplicemente

 

se la teoria di riferimento è evidente dal contesto.

Proprietà sintatticheModifica

Una teoria del primo ordine T si dice:

  • sintatticamente completa se per ogni formula   si ha
  oppure  
  • sintatticamente consistente (coerente) se non esiste nessuna formula   per cui si ha
  e contemporaneamente  

NoteModifica

  1. ^ Asperti e Ciabattoni, pp. 99-100.

BibliografiaModifica

  • Andrea Asperti e Agata Ciabattoni, 4. Logica dei predicati, in Logica a informatica, McGraw-Hill, 1997.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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