Test di Fermat

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Il test di Fermat è un test di primalità basato sul piccolo teorema di Fermat. Esso è uno dei primi test di primalità trovati e, come gli altri test usati normalmente, si propone di verificare non se un numero intero positivo è primo, ma se un numero dato non è primo. Infatti, dal teorema sappiamo che

se , tale che non valga , allora n non è primo.

Nulla si può dire, però, nel caso in cui tale proprietà sia verificata per qualche a, e perfino se è verificata da ogni a: n può comunque non essere primo. I numeri che, in base a, passano il test di Fermat sono detti pseudoprimi di Fermat, mentre quelli che lo passano per ogni a sono detti numeri di Carmichael: il più piccolo di questi è 561.

EsempiModifica

Esempio 1Modifica

Un primo   passa il test per ogni base: ad esempio, preso p=7

  =   (per il teorema di Eulero) ≡ 2 (mod 7),

oppure, equivalentemente,   =   (per Eulero) ≡ 1 (mod 7)-

  =   (per Eulero) ≡ 3 (mod 7),
  =   (per Eulero) ≡ 4 (mod 7),
  =   (per Eulero) ≡ 5 (mod 7),
  =   (per Eulero) ≡ 6 (mod 7).

Esempio 2Modifica

Se   non è un numero primo, allora esisteranno molte basi (almeno metà) in cui il test dà esito positivo: diciamo che   è uno pseudoprimo in base  . Ad esempio, per n=91 abbiamo che 91=13*7 (cioè   non è primo). Con a=3, però, vale che:

  =   ≡ 1 (per Eulero) (mod 7)
  =    (per Eulero)≡ 27*27 ≡ 1*1 =1 (mod 13)

Quindi,   ≡ 1 (mod 91). Questo non vale, però, con a=2. Infatti, vediamo che:

  =    (per Eulero)≡   ≡ 16*4 ≡ 3*4 = -1 (mod 13).

Voci correlateModifica

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