Le thin plate spline (TPS) sono una tipologia di funzione spline poliarmonica comunemente utilizzata in interpolazione, introdotta da Duchon in geometria computazionale.[1] L'analogia fisica alla base delle thin plate spline, da cui prendono il nome, è quella di determinare la deformazione di una sottile lastra piana di metallo nella quale un insieme di punti di controllo è vincolato ad un dislocamento ortogonale al piano della lastra stessa.

Le thin plate spline sono ampiamente utilizzate per modellare trasformazioni elastiche in elaborazione digitale delle immagini.[2] Tra le proprietà che le hanno rese così popolari vi sono il fondamento fisico del loro comportamento, il fatto di avere una soluzione in forma chiusa per la stima dei parametri, e il fatto di produrre una funzione interpolante liscia.

Costruzione modifica

Le thin plate spline interpolano i punti di controllo in maniera tale da minimizzare un'energia espressa dall'errore di interpolazione più l'integrale del quadrato della norma della derivata seconda, che fornisce una misura di levigatezza dell'interpolante. È possibile aggiungere un parametro   per controllare la rigidità della deformazione, bilanciando la levigatezza rispetto alla precisione dell'interpolazione:

 

È dimostrato che tale problema variazionale ammette una soluzione unica.[3] Una discretizzazione di questo problema tramite il metodo degli elementi finiti è nota come mappa elastica, ed è una tecnica comunemente usata per la riduzione non lineare della dimensionalità in applicazioni di data mining.

Le thin plate spline hanno una rappresentazione naturale in termini di funzioni radiali di base. Dato un insieme di punti di controllo  , una thin plate spline può essere espressa come

 

dove  , per un insieme opportuno di pesi  .

Spline modifica

Nel caso bidimensionale ( ), esprimendo i punti   in coordinate omogenee  , la funzione   che ottimizza l'interpolazione è parametrizzata da due matrici   e  

 

dove   è una matrice   che rappresenta la componente affine della deformazione (  è un vettore  ) e   è una matrice   contenente i coefficienti della componente non affine della deformazione. La funzione kernel   è un vettore   per ogni punto  , nella forma  .

Sostituendo, l'energia diventa

 

dove   e   sono date dalla concatenzaione delle coordinate di   and  , e   è una matrice   composta da  .

Note modifica

  1. ^ J. Duchon, 1976, Splines minimizing rotation invariant semi-norms in Sobolev spaces. pp 85–100, In: Constructive Theory of Functions of Several Variables, Oberwolfach 1976, W. Schempp and K. Zeller, eds., Lecture Notes in Math., Vol. 571, Springer, Berlin, 1977
  2. ^ F. L. Bookstein, Principal warps: thin plate splines and the decomposition of deformations, in IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 11, n. 6, giugno 1989, pp. 567–585, DOI:10.1109/34.24792.
  3. ^ (Wahba, 1990)

Bibliografia modifica

  • Haili Chui: Non-Rigid Point Matching: Algorithms, Extensions and Applications. PhD Thesis, Yale University, May 2001.
  • G. Wahba, 1990, Spline models for observational data. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics.

Collegamenti esterni modifica

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