Trasformata di Park

La trasformata di Park è una trasformazione di variabili applicabile a un sistema elettrico trifase in regime qualsiasi (anche transitorio). Essa associa a una terna di grandezze (come ad esempio tensione o corrente) un'altra terna, ai fini di evidenziare il comportamento del sistema utilizzando un differente sistema di riferimento. È stata inizialmente proposta da Robert H. Park, da cui il nome.

Definizione

Utilizzando una notazione matriciale, si può definire la trasformazione attraverso la matrice:

$K_{P}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Dove θ è detto angolo di Park.

Per effettuare la trasformazione, detti $u_{DQZ}$ il vettore delle grandezze nel riferimento di Park e $u_{XYZ}$ il vettore nel riferimento reale

$u_{DQZ}=K_{P}\cdot u_{XYZ}$.

Analogamente, si definisce la trasformazione inversa

$u_{XYZ}=K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ}$.

Si consideri la trasformata di Clarke, definita come:

$K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.

Combinando le due precedenti trasformate

$K_{CP}=K_{P}\cdot K_{C}$

Otteniamo la trasformazione di asse diretto-quadratura-omopolare:

$K_{CP}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}$

E la trasformazione inversa:

$K_{CP}^{-1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta \right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}$

Riferimento di trasformata

La scelta dell'angolo θ definisce il riferimento di trasformata. Scelte comuni possono essere:

• $\theta =costante$: trasformazione su assi fissi

• $\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega _{e}$ (detta $\omega _{e}$ la pulsazione del sistema di riferimento): trasformazione con riferimento sincrono

• $\omega ={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega _{e}$ e $\theta =\theta _{e}$ ( detti $\omega _{e}$ e $\theta _{e}$la pulsazione e l'angolo del sistema di riferimento) : trasformazione con riferimento sincrono orientato

Utilizzi

La trasformazione di Park viene utilizzata per semplificare le equazioni che modellano il comportamento di vari apparecchi elettrici, fra cui:

• Macchina a induzione
• Macchina sincrona
• Inverter

In particolare, molti schemi di controllo della velocità o della coppia erogata dalle macchine asincrona e sincrona implementano la trasformata di Park nelle loro equazioni. Allo stesso modo, la trasformata di Park viene impiegata nel sistema di controllo della potenza attiva e reattiva erogata dagli inverter connessi alla rete elettrica.

Bibliografia

• F. Saccomanno, Sistemi Elettrici per l’Energia - Analisi e Controllo, UTET, 1992.

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