Trasformazione di Helmert

Informazioni teoriche

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Per rototraslazione e variazione di scala nel piano intendiamo un cambiamento di coordinate cartesiane da un sistema di riferimento ad un altro con alterazione delle unità di misura e quindi di scala. Tutto ciò è possibile grazie ad una trasformazione lineare composta da una traslazione e da una rotazione, accompagnate da un fattore di riduzione o ingrandimento. Questo problema prende il nome di trasformazione di Helmert a sette parametri, ed è individuato dall'espressione:

 

dove i parametri da determinare sono tre per la rotazione, tre per la traslazione ed uno per le unità di misura.

In particolare: R è la matrice di rotazione rispetto ai tre assi (matrice 3x3),   è il vettore di traslazione (3 componenti) e   è il fattore di scala, mentre   e   rappresentano rispettivamente le coordinate dei punti prima e dopo la trasformazione.

Per comodità consideriamo uno spazio di lavoro bidimensionale, quindi la matrice R sarà una 2x2 e dipenderà da un solo parametro, 𝛼, che individua l’angolo di rotazione e   diventerà un vettore a due componenti (  e  ).   è della forma:

 

A questo punto si vuole stimare i valori dei parametri  ,  ,  ,   che governano la trasformazione tramite il metodo dei minimi quadrati. Prima è però necessario svolgere un processo di linearizzazione del sistema rispetto ai parametri   e  , ponendo  ,   e  . Si ottiene:

 

Dunque, conoscendo le coordinate   e   di un certo numero di punti (più sono minore sarà l’errore) e utilizzando queste supposizioni/semplificazioni:

  • le coordinate   note senza errori;
  • le coordinate   incorrelate e con medesima varianza;
  • utilizzo delle coordinate baricentriche;

la trasformazione diventa:

 

Calcolo delle coordinate baricentriche

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In prima battuta si calcolano le coordinate del baricentro dei punti nei due sistemi di riferimento:

   

Successivamente si calcolano le coordinate baricentriche di tutti gli N punti relativamente al loro baricentro:

   

Nuova forma per le trasformazione di Helmert

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È possibile ora modificare la prima equazione mediante l’utilizzo delle coordinate baricentriche:

 

la quale, ponendo   risulta:

 

A questo punto il problema può essere ricondotto ad un’equazione matriciale del tipo:

 

Esplicitando per ogni punto e ricordando il precedente cambio di variabile otteniamo:

 

ovvero:

  

dove   rappresenta il vettore contenente i termini noti,   la matrice dei coefficienti e   il vettore dei parametri da stimare.

Stima dei parametri

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Per la risoluzione del sistema è conveniente normalizzarlo, moltiplicando ambo i membri per la trasposta di   ( ) :

 

Allora, definendo con   la matrice normale, i prodotti   e   risultano essere:

   

con :

 

 

 

La matrice normale è diagonale in quanto le coordinate baricentriche hanno media nulla; le componenti   e   sono pari a zero per il medesimo motivo.

Per la stima dei parametri non ci resta che determinare il sistema. Si ottengono le seguenti relazioni:

       

Grazie a queste è possibile stimare i parametri   e   :

   

mentre una stima del vettore traslazione è  

Calcolo degli scarti e delle varianza

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Definiamo gli scarti come differenza tra il valore reale e quello stimato:

 

Per calcolare la varianza a posteriori si usa la formula:

 

con r = (numero di misure) - (numero parametri).