Trasformazione lineare

funzione che preserva le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Indice

DefinizioneModifica

Siano   e   due spazi vettoriali sullo stesso campo  . Una funzione   è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:[1][2]

  •  
  •  

per ogni coppia di vettori   e   in   e per ogni scalare   in  . La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente,   è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ovvero se:

 

per ogni intero positivo m e ogni scelta dei vettori   e degli scalari  .

Se   è una applicazione lineare e   e   sono i vettori nulli di   e   rispettivamente, allora:[3]

 

e togliendo   da ambo i membri si ottiene

 

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare non banale manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.[4]

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.[6]

Esistenza ed unicità dell'applicazione lineareModifica

Siano   e   due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia   una base di   e siano   vettori di  . Allora esiste un'unica applicazione lineare da   in   tale che:[7]

 

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati  , dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base vi sono due casi:

  • I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
  • I vettori di cui si conosce l'immagine non sono linearmente indipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:
 

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

 

Matrice associataModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice di trasformazione.

Siano   e   due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi   e   per   e  , ogni trasformazione lineare da   a   è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

 
 

Ogni vettore   in   è univocamente determinato dalle sue coordinate  , definite in modo che:

 

Se   è una trasformazione lineare si ha:

 

Quindi la funzione   è determinata dai vettori  . Ciascuno di questi è scrivibile come:

 

La funzione   è dunque interamente determinata dai valori di  , che formano la matrice associata a   nelle basi   e  .[8]

La matrice associata   è di tipo  , e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine   di ogni vettore di   grazie alla relazione seguente:

 

dove   e   sono le coordinate di   e   nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettorialeModifica

L'insieme   delle applicazioni lineari da   in   è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo   formato da tutte le funzioni da   in  , infatti:[9]

  • se   e   sono lineari, allora è lineare la loro somma  , definita dalla relazione
 
  • se   è lineare e   è un elemento del campo  , allora la funzione  , definita da  , è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo   tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici  , dove   e   sono le dimensioni rispettivamente di   e  .

Nucleo e immagineModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della dimensione.

Se   è lineare, il nucleo di   è l'insieme:[10]

 

mentre l'immagine di   è l'insieme:[11]

 

L'insieme   è un sottospazio di  , mentre   è un sottospazio di  . Se   e   hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:[12]

 

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismiModifica

Una trasformazione lineare   è un endomorfismo di  . L'insieme di tutti gli endomorfismi End( ) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo  : in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su  . L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di  .

Un endomorfismo biiettivo di   viene chiamato automorfismo di  . La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di   forma un gruppo, il gruppo generale lineare di  , chiamato   o  .

Se la dimensione di   è finita basterà che f sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

 

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate   descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di   è isomorfo al gruppo lineare generale   di tutte le matrici   invertibili a valori in  .

Pull-Back di funzioni ed applicazione traspostaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Pull-back.

Siano  ,   e   insiemi e siano   e   le famiglie di funzioni da   in   e da   in   rispettivamente. Ogni   determina univocamente una corrispondenza   chiamata pull-back tramite  , che manda   in  .

Se nello specifico si considerano   e   due spazi vettoriali su un campo   e anziché prendere interamente   e   si considerano gli spazi duali   e   si ha che ad ogni trasformazione lineare   si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite  , ovvero la funzione   che prende il nome di trasposta di  .

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in   e   che   è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per   e   e le rispettive duali in   e  , la matrice di trasformazione associata a   è la trasposta di quella di  .

Segue dalla definizione che un funzionale   viene mandato in zero da   solo se l'immagine di   è contenuta nel nucleo di   cioè, indicando con   il sottospazio dei funzionali che annullano  , si ha  . Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale   è immagine di un funzionale   (vale a dire   solo se   annulla il nucleo di  , ossia   . Nel caso in cui   e   siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni   e   che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

EsempiModifica

  • La moltiplicazione  , in qualsiasi spazio vettoriale su  , per una costante fissata  .
  • Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
  • Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
  • La proiezione di uno spazio vettoriale   decomposto in somma diretta:
     
    su uno dei due sottospazi   o  .
  • Una matrice   di tipo   con valori reali definisce una trasformazione lineare:
     
    dove   è il prodotto di   e  . Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
  • L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale  .
  • La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di   nello spazio di tutte le funzioni.
  • Lo spazio   dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione
     
    è una mappa  -lineare ma non  -lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 82
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 67
  3. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 68
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 80
  5. ^ S. Lang, Pag. 86
  6. ^ S. Lang, Pag. 96
  7. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 69
  8. ^ S. Lang, Pag. 84
  9. ^ S. Lang, Pag. 85
  10. ^ S. Lang, Pag. 90
  11. ^ S. Lang, Pag. 91
  12. ^ S. Lang, Pag. 92

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

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