Trasformazione naturale

In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".

Funtori paralleli kf.png

che rende possibile definire la categoria di tutti i funtori

tra due categorie assegnate.

DefinizioneModifica

Siano

 

 

due funtori tra le categorie   e  .

Una trasformazione naturale   è una collezione

 

di frecce di   indicizzate dagli oggetti di   e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia   di  :

 

cioè    .

Composizione orizzontaleModifica

Siano date le trasformazioni naturali

 

 

ove   sono funtori tra due categorie  , mentre   sono funtori tra due categorie  .

Se ne può definire la composizione orizzontale

 

come quella trasformazione naturale   le cui frecce, nella categoria  , siano definite in uno dei due modi equivalenti:

 ,

 .

infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

 

Composizione verticaleModifica

Siano date le trasformazioni naturali

 

 

ove   sono funtori tra due categorie  .

Se ne può definire la composizione verticale

 

come quella trasformazione naturale   le cui frecce, nella categoria  , siano definite nel modo elementare:

 

Categoria dei funtoriModifica

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria   che ha per oggetti tutti i funtori  , per frecce   le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.

Esempio 1

Se   è la categoria degli insiemi e   è la categoria duale di una categoria   (  è ottenuta invertendo tutte le frecce di  ), allora la categoria   è la categoria dei prefasci su  .

Esempio 2

Sia   la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia   l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni   come frecce  .

Si verifica che i funtori   sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto   e dell'intero  ). Quindi abbiamo la formula notevole:

 

ove   è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di   e  .

BibliografiaModifica

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