Utente:Bianchinmtt99/Sandbox

Dimostrazione Momento spira in campo magnetico

La spira percorsa da corrente $i$ è immersa in un campo magnetico uniforme ${\vec {B}}$. Chiamiamo ${\vec {A}}$ il vettore area della spira (modulo l'area della spira, direzione perpendicolare al piano della spira e verso dato dalla regola levogira) e ${\vec {I}}$ il vettore con modulo l'intensità di corrente $i$ e direzione e verso del vettore densità di corrente ${\vec {J}}$; la componente ${\vec {B_{1}}}$ di ${\vec {B}}$ complanare alla spira ha modulo $B\sin \theta$, con $\theta$ l'angolo fra ${\vec {A}}$ e ${\vec {B}}$; l'altra componente di ${\vec {B}}$ non influisce sul momento, in quanto in ogni istante risulta ${\vec {B}}\perp {\vec {I}}$. Sezioniamo la spira lungo la retta $s\perp {\vec {B_{1}}}$ passante per il suo centro di massa e consideriamo una delle due semispire ottenute. Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano $xOy$ con asse $x$ coincidente con $s$ e chiamiamo $f(x)$ la funzione che descrive l'andamento della semispira al variare di $x$.

Calcoliamo il momento angolare dovuto al tratto infinitesimo di filo $dl$ delimitato dall'intervallo $[x_{0},x_{0}+dx]$. In tale intervallo $f(x)$ è approssimabile con la retta tangente$y=f'(x_{0})x+q$, la cui lunghezza nel tratto considerato è pari a:

$dl={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}={\sqrt {(x_{0}+dx-x_{0})^{2}+[f'(x_{0})(x_{0}+dx)+q-f'(x_{0})x_{0}-q]^{2}}}={\sqrt {dx^{2}+[f'(x_{0})dx]^{2}}}=dx{\sqrt {1+[f'(x_{0})]^{2}}}$

Inoltre la tangente dell'angolo $\alpha$ che il vettore ${\vec {I}}$ forma con l'asse $x$ nel punto $x_{0}$ è per definizione $f'(x_{0})$.

La forza che il campo esercita sul tratto di filo $dl$ è

${\vec {F}}=dl{\vec {I}}\times {\vec {B}}_{1}$,

il cui modulo vale

$F=idlB_{1}\sin({\frac {\pi }{2}}\pm \alpha )=idlB_{1}\cos \alpha$

e con direzione ${\hat {k}}$.

Dalle relazioni fra le funzioni trigonometriche sappiamo che

$\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}={\frac {1}{\sqrt {1+[f'(x_{0})]^{2}}}}$

e sostituendo nella formula di ${\vec {F}}$ otteniamo:

$F=idlB_{1}\cos \alpha =idx{\sqrt {1+[f'(x_{0})]^{2}}}B_{1}{\frac {1}{\sqrt {1+[f'(x_{0})]^{2}}}}=iB_{1}dx$

Ora il momento angolare è definito come:

${\vec {M}}={\vec {F}}\times {\vec {r}}$

Poiché ${\vec {F}}$ ha direzione ${\hat {k}}$ e ${\vec {r}}=f(x_{0}){\hat {i}}$, i due vettori sono perpendicolari e il modulo del momento vale:

${\vec {M_{0}}}=iB_{1}f(x_{0})dx{\hat {i}}$

La somma dei momenti della semispira considerata è perciò:

${M}=\sum _{x_{0}}{iB_{1}f(x_{0})dx}=iB_{1}\sum _{x_{0}}{f(x_{0})dx}$

passando al continuo:

${M}=iB_{1}\int _{a}^{b}f(x)dx$

Poiché, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale definito di una funzione esprime l'area sottesa dal suo grafico, possiamo riscrivere la relazione come

${\vec {M}}=iB_{1}A_{s}=iBA_{s}\operatorname {sen} \theta$

dove $A_{s}$ è l'area della semispira.

Poiché vale analoga considerazione per l'altra semispira, ne consegue che

${\vec {M}}_{tot}=iAB\operatorname {sen} \theta$

Equazioni reciproche

Si chiama equazione reciproca un'equazione algebrica scritta nella forma $P(x)=0$, in cui $P(x)$ è un polinomio ordinato per valori decrescenti delle potenze dell'incognita $x$, i cui coefficienti estremi e quelli equidistanti da questi siano uguali (equazioni reciproche di prima specie) oppure opposti (equazioni reciproche di seconda specie).

In altre parole, chiamato $a_{i}$ il coefficiente del termine di grado $i$ di $P(x)$, l'equazione

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0$

si dice

• reciproca di prima specie se $a_{n-i}=a_{i}$, $\forall i=0,\dots ,n$
• reciproca di seconda specie se $a_{n-i}=-a_{i}$, $\forall i=0,\dots ,n$