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Potenza (matematica)

operazione matematica
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il concetto di potenza di un insieme nella teoria degli insiemi, vedi Cardinalità.

In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri e detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di fattori uguali ad :

in questo contesto può essere un numero intero, razionale o reale mentre è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.

Le potenze scritte nella forma si leggono come elevato alla o più semplicemente alla . L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Indice

Peculiarità ed esempiModifica

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come al quadrato (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente   come al cubo (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).

Esempi:

  •   si legge tre alla seconda oppure tre al quadrato
  •   si legge due alla terza oppure due al cubo
  •   si legge tre alla quarta oppure tre elevato alla quarta
  •   si legge un mezzo alla terza oppure un mezzo al cubo

L'operazione si estende ad   ponendo per ogni  

 

e ad   negativi ponendo

 

Ad esempio,

 

ProprietàModifica

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

  • Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti:
 
Dimostrazione

 

ma ricordiamo che

 

quindi

 

  • Il quoziente di potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti:
 
Dimostrazione

 

Estraendo fino ad avere   otteniamo il seguente risultato:  

  • La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l'esponente è dato dal prodotto degli esponenti:
 
  • Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:
 
Dimostrazione

Espandiamo le potenze come prodotti e applichiamo la proprietà commutativa per   e  

 

Otteniamo sempre un prodotto di   e   per   volte cioè

 

  • Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:
 
Dimostrazione

Espandiamo le potenze come prodotti e separiamo le frazioni

 

Notiamo che la definizione   risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

 

Si noti che   è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a  

E lo stesso vale per la definizione di  , infatti:

 

Radici ed esponenti frazionariModifica

 
Grafico di funzioni xa per esponenti maggiori di 1 (sotto la bisettrice degli assi), e minori di 1 (sopra la bisettrice)

Dato un numero reale non negativo   eun numero intero positivo   si chiama radice  -esima di   quel numero reale non negativo   tale che  , tale numero si indica con  .

Da questa definizione si ha subito che

 

per ogni numero reale non negativo  . Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

 

In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

 

come avviene per la radice  -esima.

Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale  , con   e   interi primi tra loro e  , se si pone:

 

In questo caso:

  • se   è pari, la potenza è definita per   reale non negativo;
  • se   è dispari:
    • se   è positivo, la potenza è definita per qualsiasi  ;
    • se   è non positivo, la potenza è definita per qualsiasi   non nullo.

Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi   e   primi tra loro si cade in assurdi quali:

 

Il passaggio errato è il terzo, in quanto   non è definito in  .

Potenze ad esponente realeModifica

È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come   o eπ.

Definiamo inizialmente   con la base   e l'esponente  , entrambi numeri reali.

Possiamo scrivere   nella sua rappresentazione in base   con la scrittura:

 

La successione   dei numeri

 
 
 
 
 

è una successione di numeri razionali crescente che tende a  .

La potenza   ha esponente razionale, quindi è stata definita. La successione di numeri reali

 
 
 
 

è una successione anch'essa crescente (poiché  ), risulta quindi naturale definire il valore di   come l'estremo superiore di tale successione:

 

Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra   e   si può definire:

 

poiché   in questo caso è maggiore di   e quindi il secondo membro è definito.

Difatti, essendo  , si ha la seguente successione di numeri reali (considerando   come prima):

 
 
 
 

che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso,  .

Voci correlateModifica

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