Utente:Ceskino/Sandbox

In geometria euclidea si chiama tangente ad circonferenza $\Gamma$ una retta $t$ che tocca $\Gamma$ in un solo punto. È possibile dimostrare che preso un punto $A$ non esistono tangenti se $A$ è interno a $\Gamma$, vi è esattamente una tangente se $A$ è un punto di $\Gamma$ e vi sono esattamente due tangenti distinte se $A$ è esterno a $\Gamma$.

Costruzione tangenti da un punto esterno

Dato un punto $P$ esterno alla circonferenza $\Gamma$ è possibile costruire le tangenti a tale circonferenza per $P$ (e quindi dimostrare l'esistenza di tali rette tangenti).

Metodo di Euclide

Euclide propone una costruzione di tali tangenti negli Elementi (Libro III - Proposizione 17).

Dal centro $O$ della circonferenza $\Gamma$ si tracci il segmento ${\overline {OA}}$ e si disegni la circonferenza $\Gamma '$ di centro $O$ e raggio ${\overline {OA}}$.

Sia $B$ uno dei due punti di intersezione tra $\Gamma$ e ${\overline {OA}}$ (scegliamo ad esempio quello tra $O$ ed $A$).

Da tale punto $B$ si tracci la perpendicolare a ${\overline {OA}}$ e sia $D$ uno dei due punti di intersezione di tale perpendicolare con la circonferenza $\Gamma '$.

Si tracci ${\overline {OD}}$ e si indichi con $E$ il punto di intersezione tra ${\overline {OD}}$ e $\Gamma$.

La retta ${\overline {EA}}$ è una delle due tangenti a $\Gamma$ per il punto esterno $P$.

Elementi di Euclide - Libro III - Proposizione 17 (costruzione delle tangenti ad una circonferenza da un punto esterno ad essa)

Infatti, ${\overline {OA}}={\overline {OD}}$ poiché entrambi raggi di $\Gamma '$ ed ${\overline {OB}}={\overline {OE}}$ poiché entrambi raggi di $\Gamma$.

I triangoli $EOA$ e $BOD$ sono uguali poiché hanno due lati e l'angolo compreso tra questi uguali.

Quindi, in particolare l'angolo $OEA=OBD$ è retto.

Per la proposizione degli Elementi 3.16, una retta che formi un angolo retto con un diametro (in questo caso con ${\overline {OE}}$) è tangente alla circonferenza. Da cui la tangenza di ${\overline {EA}}$ a $\Gamma$.

L'altra tangente si costruisce scegliendo l'altro dei due punti di intersezione della perpendicolare a ${\overline {OA}}$ con la circonferenza $\Gamma '$.

Metodo alternativo

Si congiunga P con il centro $C$ della circonferenza $\Gamma$ e si tracci $M$ il punto medio del segmento ${\overline {PC}}$.

Si disegni la circonferenza di centro M e raggio ${\overline {MP}}$ e si indichino con $T_{1}$ e $T_{2}$ i punti di intersezione di tale circonferenza con $\Gamma$.

Le rette ${\overline {PT_{1}}}$ e ${\overline {PT_{2}}}$ sono le tangenti alla circonferenza $\Gamma$ condotte dal punto $P$.

Costruzione delle tangenti ad una circonferenza da un punto esterno ad essa

Infatti, i due triangoli $CT_{1}P$ e $CT_{2}P$ sono rettangoli in $T_{1}$ e $T_{2}$ rispettivamente poiché inscritti in semicirconferenze; quindi ${\overline {PT_{1}}}$ e ${\overline {PT_{2}}}$ sono le tangenti alla circonferenza $\Gamma$ condotte da $P$ poiché perpendicolare ai raggi $CT_{1}$ $CT_{2}$ rispettivamente.