Utente:Ceskino/Sandbox

In geometria euclidea si chiama tangente ad circonferenza una retta che tocca in un solo punto. È possibile dimostrare che preso un punto non esistono tangenti se è interno a , vi è esattamente una tangente se è un punto di e vi sono esattamente due tangenti distinte se è esterno a .

Costruzione tangenti da un punto esternoModifica

Dato un punto   esterno alla circonferenza   è possibile costruire le tangenti a tale circonferenza per   (e quindi dimostrare l'esistenza di tali rette tangenti).

Metodo di EuclideModifica

Euclide propone una costruzione di tali tangenti negli Elementi (Libro III - Proposizione 17).

Dal centro   della circonferenza   si tracci il segmento   e si disegni la circonferenza   di centro   e raggio  .

Sia   uno dei due punti di intersezione tra   e   (scegliamo ad esempio quello tra   ed  ).

Da tale punto   si tracci la perpendicolare a   e sia   uno dei due punti di intersezione di tale perpendicolare con la circonferenza  .

Si tracci   e si indichi con   il punto di intersezione tra   e  .

La retta   è una delle due tangenti a   per il punto esterno  .



Infatti,   poiché entrambi raggi di   ed   poiché entrambi raggi di  .

I triangoli   e   sono uguali poiché hanno due lati e l'angolo compreso tra questi uguali.

Quindi, in particolare l'angolo   è retto.

Per la proposizione degli Elementi 3.16, una retta che formi un angolo retto con un diametro (in questo caso con  ) è tangente alla circonferenza. Da cui la tangenza di   a  .


L'altra tangente si costruisce scegliendo l'altro dei due punti di intersezione della perpendicolare a   con la circonferenza  .

Metodo alternativoModifica

Si congiunga P con il centro   della circonferenza   e si tracci   il punto medio del segmento  .

Si disegni la circonferenza di centro M e raggio   e si indichino con   e   i punti di intersezione di tale circonferenza con  .

Le rette   e   sono le tangenti alla circonferenza   condotte dal punto  .



Infatti, i due triangoli   e   sono rettangoli in   e   rispettivamente poiché inscritti in semicirconferenze; quindi   e   sono le tangenti alla circonferenza   condotte da   poiché perpendicolare ai raggi     rispettivamente.