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Tipica rappresentazione di una retta come un segmento con estremi tratteggiati.

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.

La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino.

Indice

Definizione geometricaModifica

La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.

 
Esempio di rette complanari, di cui 2 parallele ed una incidente e perpendicolare a entrambe le altre due.

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:

  • Incidenti se hanno un (unico) punto in comune.
    • Un caso particolare di rette incidenti si ha quando le due rette formano nel punto di intersezione quattro angoli retti, in tal caso sono dette perpendicolari
  • Parallele se non si intersecano o se hanno tutti i punti in comune; in questo caso sono coincidenti. Due rette parallele nel piano mantengono sempre la stessa distanza tra di loro (questa caratteristica, tipica della geometria euclidea, non è verificata per esempio nella geometria iperbolica, dove due rette parallele possono divergere).

Due rette nello spazio possono essere:

  • Complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti.
  • Sghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele.

Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.

Retta nel piano cartesianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Retta nel piano cartesiano.

Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare

 

dove i coefficienti  ,   e   sono dei numeri reali fissati, con   e   non contemporaneamente nulli.

Se   oppure  , è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

  oppure  

dove   si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto   rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle   (ordinata all'origine o intercetta), nella seconda il termine noto   rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle  .

Retta nello spazio euclideo tridimensionaleModifica

Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite equazioni cartesiane come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

 

In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro   ed è sempre possibile ricavare un'equazione parametrica della retta:

 

dove il vettore   è un vettore parallelo alla retta e il punto   è un punto appartenente alla retta. Se   sono tutti diversi da zero è possibile ricavare la sua equazione normale (equazione a catena):

 

Sia le equazioni cartesiane che l'equazione parametrica della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.

Retta in uno spazio euclideo n-dimensionaleModifica

Nello spazio euclideo  -dimensionale  , una retta è un insieme dei punti del tipo

 

dove   e   sono due vettori fissati in   con   diverso da zero. Il vettore   descrive la direzione della retta, mentre   è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori   e   possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione   è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie   equazioni.

Distanza tra retteModifica

Si definisce come distanza tra due rette   e   la distanza minima tra due punti   e  .

Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette   e   di equazioni parametriche rispettivamente:

 

dove   e   sono i loro vettori direzionali e   e   i vettori associati al punto   della retta   e al punto   della retta  , relativamente alla terna cartesiana  .

Distanza tra rette paralleleModifica

Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di   segnato dal vettore  . Ogni punto della retta   può essere espresso nella forma  . Se chiamo   il vettore ortogonale a   che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare

 

Ottenuto   risolvendo la precedente equazione (incognita in  ) è sufficiente calcolare la norma di   quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza   fra due rette parallele   e   si può scrivere come:

 
Rette sghembe.
 

dove il vettore   è un vettore parallelo alle rette e il vettore   è il vettore che congiunge un punto   della retta   e un punto   della retta   ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore   nel verso ortogonale alle stesse.

Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:  

Distanza tra rette sghembeModifica

Se definiamo   come il vettore ortogonale a  , la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di  . I tre vettori  ,   e   sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore   lungo le tre componenti. Quindi

 

Molto semplicemente si ricava che

 

con riferimento all'equazione parametrica la distanza   fra due rette sghembe   e   si può scrivere come:

 

dove il vettore   è il vettore che congiunge un punto   della retta   che ha vettore parallelo   e un punto   della retta   che ha vettore parallelo  , il vettore   è il vettore ortogonale   ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore   nel verso del vettore  .

Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta :  

NoteModifica


Voci correlateModifica

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