Utente:Equoreo/Trasporto neutronico

L'equazione del trasporto per i neutroni è l'equazione differenziale che descrive il moto dei neutroni e la loro interazione con la materia. L'equazione deriva dall'equazione di Boltzmann per i gas.

La soluzione dell'equazione è costituita dalla distribuzione in spazio, direzione ed energia, della popolazione neutronica del sistema e dalla sua variazione nel tempo. La determinazione del flusso neutronico all'interno del nocciolo costituisce un fattore chiave nella progettazione di un reattore nucleare a fissione e nel suo controllo.

Formulazione

Definita $N(\mathbf {r} ,E,{\hat {\Omega }},t)$ la densità di neutroni aventi energia $E$ e direzione ${\hat {\Omega }}$ nel punto $\mathbf {r}$ all'istante $t$, la sua variazione nel tempo è data dal bilancio di neutroni nel sistema:

${{\partial N} \over {\partial t}}=\left({{\partial N} \over {\partial t}}\right)_{\mathrm {flusso} }+\left({{\partial N} \over {\partial t}}\right)_{\mathrm {collisioni} }$

Il termine di collisione tiene conto degli effetti delle interazioni dei neutroni con la materia in $\mathbf {r}$, che portano alla loro sparizione, creazione o cambiamento in energia e/o direzione.

L'interazione fra i neutroni non è invece tenuta in considerazione: si assume infatti che la loro densità sia sufficientemente bassa da rendere eventuali collisioni fra neutroni del tutto trascurabili. Una tale assunzione, giustificata per i neutroni, non sarebbe invece accettabile se le particelle risentissero della presenza delle altre, come accade nel caso di particelle cariche elettricamente.

$\left({{\partial N} \over {\partial t}}\right)_{\mathrm {collisioni} }=-\Sigma _{\mathrm {t} }N(\mathbf {r} ,E,{\hat {\Omega }},t)v(E)+\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E'\int _{4\pi }\mathrm {d} {\hat {\Omega }}'\Sigma _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} ,E'\to E,{\hat {\Omega }}'\to {\hat {\Omega }})N(\mathbf {r} ,E',{\hat {\Omega }}',t)v(E')+{{\chi (E)} \over {4\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E'\int _{4\pi }\mathrm {d} {\hat {\Omega }}'\nu \Sigma _{\mathrm {f} }(\mathbf {r} ,E)N(\mathbf {r} ,E',{\hat {\Omega }}',t)v(E')$

Il termine di flusso

Fattore di moltiplicazione

Il fattore di moltiplicazione (indicato con $k$) è il numero di neutroni provenienti da una reazione di fissione nucleare che, statisticamente, indurranno una nuova fissione.

Definizioni del tutto equivalenti sono

$k={N_{G+1} \over N_{G}}={{\nu \Sigma _{f}\phi } \over {\Sigma _{a}\phi +L}}$

con $G$ che indica la generazione.

Considerando che il neutrone che induce la fissione viene assorbito (quindi scompare dal sistema), l'evoluzione della popolazione neutronica dipende dal suo fattore di moltiplicazione:

• quando $k<1$ (una situazione definita sottocriticità) ad ogni fissione fa seguito meno di un'altra fissione e la reazione a catena tende a fermarsi;
• quando $k=1$ (criticità) ogni fissione induce esattamente un'altra fissione, in uno stato stazionario in cui la reazione a catena si autosostiene;
• quando $k>1$ (supercriticità) per ogni fissione nella generazione presente si produrranno un numero di fissioni maggiore di 1 nella prossima, in un sistema destinato a divergere.

Il fattore di moltiplicazione costituisce uno dei parametri più importanti nel controllo di ogni reattore a fissione e la determinazione del suo valore è un tipico problema del trasporto neutronico.

In base alla sua definizione, il fattore di moltiplicazione può essere utilizzato per costruire un problema agli autovalori a partire dall'equazione del trasporto per i neutroni: $k$, infatti, è il valore per cui dividere il termine di generazione dei neutroni affinché sia equivalente al numero di neutroni persi. In tal modo l'inverso di $k$ costituisce l'autovalore del problema di criticità

${\hat {\Omega }}\cdot \nabla \varphi (\mathbf {r} ,E,{\hat {\Omega }},t)+\Sigma _{\mathrm {t} }\varphi (\mathbf {r} ,E,{\hat {\Omega }},t)-\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E'\int _{4\pi }\mathrm {d} {\hat {\Omega }}'\Sigma _{\mathrm {s} }(\mathbf {r} ,E'\to E,{\hat {\Omega }}'\to {\hat {\Omega }})\varphi (\mathbf {r} ,E',{\hat {\Omega }}',t)={{1} \over {k}}{{\chi (E)} \over {4\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} E'\int _{4\pi }\mathrm {d} {\hat {\Omega }}'\nu \Sigma _{\mathrm {f} }(\mathbf {r} ,E)\varphi (\mathbf {r} ,E',{\hat {\Omega }}',t)$.

Cinetica

Equazione di Bateman

Equazione inhour

Soluzione

La soluzione dell'equazione dal punto di vista analitico presenta grandi difficoltà per problemi che non siano banali; i casi reali di applicazione, vengono affrontati usando metodi deterministici o stocastici.

I metodi stocastici non mirano a risolvere l'equazione, ma simulano il percorso di un gran numero di neutroni applicando ad ognuno di essi la teoria del trasporto; la distribuzione di neutroni ottenuta in questo modo converge statisticamente alla soluzione dell'equazione. Dato che nessuna approssimazione viene fatta alla teoria, i risultati sono affetti unicamente da un errore statistico, che viene ridotto entro livelli accettabili aumentando il numero di neutroni simulati; questo rende i risultati particolarmente precisi ed affidabili, ma le risorse computazionali richieste sono molto elevate.

Al contrario, i metodi deterministici risolvono l'equazione differenziale mediante discretizzazione delle variabili coinvolte o troncando sviluppi in serie di funzioni. Le variabili spaziale e temporale vengono tipicamente discretizzata, risolvendone i bilanci con metodi alle differenze finite o metodi nodali. Lo spazio energetico viene anche discretizzato in intervalli denominati gruppi energetici, originando l'approssimazione multigruppo; con tale approssimazione si assume che tutti i neutroni in uno stesso gruppo energetico abbiano pari energia. Diverse opzioni sono state proposte per trattare la variabile angolare; le più diffuse sono:

• Il metodo S_N (o delle ordinate discrete), che prevede la discretizzazione dell'angolo solido e l'impiego di formule di quadratura numerica;
• Il metodo P_N (o delle armoniche sferiche), in base al quale la variabile angolare viene sviluppata in serie di funzioni sferiche, ottenendo un numero N di equazioni concatenate; l'approssimazione è determinata dal troncamento della serie all'ordine desiderato. È degno di nota che l'approssimazione P₁ è strettamente imparentata con l'equazione della diffusione, che quindi constituisce un caso particolare dell'equazione del trasporto.

Ad un N maggiore corrisponde una discretizzazione più fine o un troncamento ad armoniche di ordine superiore, e quindi maggiore precisione ma anche maggiore complessità computazionale.