Federico ianni

Il modello di Ising è un modello fisico-matematico studiato in meccanica statistica che pone come oggetto di studio i corpi magnetizzati . Lo scopo di questo modello è comprendere qual è il comportamento di alcuni materiali quando essi vengono sottoposti ad un campo magnetico esterno h ( il modello è stato poi impiegato per modellizzare fenomeni variegati, accomunati dalla presenza di singoli componenti che, interagendo a coppie, producono effetti collettivi). La materia è composta da un numero molto grande (nell’ordine di $10^{23}$ ) di parti microscopiche interagenti che tipicamente possono essere atomi o molecole. Queste parti sono solitamente tutte uguali (atomi dello stesso tipo) e obbediscono alle più semplici leggi del moto. La difficoltà matematica nello studio di questi sistemi è insita nel gran numero di equazioni che è funzione del numero di particelle del sistema stesso. Per questo motivo è opportuno affrontare il problema in modo differente e quindi usare una strategia che permetta di descrivere questi fenomeni con poche equazioni facili da trattare per ottenere dei risultati almeno approssimati. In questo caso entrano in gioco i metodi di analisi della meccanica statistica che propone un approccio al problema di tipo probabilistico .Quindi date delle condizioni iniziali ad esempio il valore del campo magnetico applicato o per esempio la temperatura del sistema possiamo fare uso degli strumenti che ci vengono forniti dalla statistica al fine di capire come in media si comporta ciascun componente e quindi in ultima analisi il sistema totale. Ising nel 1924 nella sua tesi di dottoranto present la soluzione esatta del modello ad una dimensione dimostrando l’assenza di transizione di fase tra lo stato paramagnetico e quello ferromagnetico. La delusione generata dall’irrilevanza di questo risultato dal punto di vista fisico, lo portò erroneamente a supporre che anche le soluzioni di dimensione maggiore non presentassero la transizione di fase. Il risultati negativi erano dovuta all'eccessive semplificazioni usate per trattare un fenomeno così complesso. Un passo avanti venne fatto nel 1936, dal britannico Rudolf Peierls il quale riuscì a dimostrare l’esistenza di una transizione di fase nei reticoli planari, ossia quelli di dimensione uguale a due. Nel 1941 Hendrik Kramers e Gregory Wannier individuarono il valore esatto della temperatura di Curie del modello di Ising bidimensionale, ma dobbiamo attendere fino al 1944 per la soluzione analitica esatta di Lars Onsager. Infine, da essa, nel 1952 Chen Ning Yang riuscì a ricavare il valore della magnetizzazione spontanea. I lunghi tempi d’attesa tra una scoperta e l’altra ci dimostrano la presenza di notevoli difficoltà riscontrate nella risoluzione dei modelli, infatti ad oggi non siamo ancora a conoscenza di una soluzione esatta per il modello a tre dimensioni.

Definizione Consideriamo un insieme di siti reticolari tra loro confinanti che chiamo , tale reticolo è definito in uno spazio D-dimensionale la cui struttura si ripete periodicamente nello spazio con una geometria ben definita. Sia i il nome del generico sito appartenente all’insieme $\Lambda$ . Per ogni sito i esiste una variabile $\sigma$ che può assumere valori +1 o -1 Assegnando ad ogni sito del reticolo un valore di spin $\sigma$ (sia esso +1 o -1 ) si ottiene quella che prende il nome di configurazione di spin, a tale configurzione è associata un'energia detta Hamiltoniana. Nel modello di Ising i parametri del sistema sono l'intensità del campo magnetico esterno h , l'intensità dell'energia di interazione $J_{ij}$ , e la temperatura che compare nella formula della funzione di partizione . Inoltre noto il valore di spin di ciascuna cella vogliamo conoscere il valore dell'energia $U_{ij}$ associata alla singola coppia di spins confinanti <ij>. In prima analisi abbiamo:

$U_{ij}$ = $J_{ij}S_{i}S_{j}$ per siti confinanti
$U_{ij}$ altrove

sommando le energie di tutte le coppie di spin, si ottiene l'Hamiltoniana totale del sistema:

  $H=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}^{z}S_{j}^{z}U_{ij}-\sum _{i}hS_{i}^{z}$                     
dove      $S_{ij}^{z}$ =±1    denota la proiezione del momento angolare di spin lungo la direzione z di un sistema di riferimento. Per cui avrò +1 se la proiezione è concorde alla direzione dell'asse , ed invece -1 se la proiezione ha direzione opposta

In questa equazione nella prima somma abbiamo proprio gli indici i e j che indicano tutte le coppie di spin confinanti e interagenti tra loro in particolare ci dice come questi siti interagiscono mediante quella che prende il nome di costante di scambio J . Il modello di Ising si rivela in realtà non adatto alla trattazione di fenomeni magnetici reali, in quanto è applicabile solo a quei magneti con una forte anisotropia lungo una sola direzione. Infatti tali spins possono giacere solo parallelamente o antiparallelamente alla direzione del campo esterno, si parla infatti di parametro d'ordine scalare a due o tre componenti ( a seconda se stiamo lavorando in due o tre dimensioni) . Una trattazione che si avvicina alla realtà richiede l'uso della meccanica quantisitca , con essa vengono prese in considerazione le possibili fluttuazioni degli spins rispetto alla direzione del campo magnetico esterno, in altre parole consideriamo tutte le possibili direzioni degli spins. La variabile $\sigma$ che prima era uno scalare ora diventa un vettore e l'Hamiltorniana la scrivo come : ${\bar {H}}=\sum _{ij}J_{ij}{\bar {S}}_{i}{\bar {S}}_{j}^{z}-\sum _{ij}h{\bar {S}}_{i}$ (Modello di Heisenberg)

dove:

${\bar {H}}$ rappresenta l'operatore Hamiltoniano
${\bar {S}}$ indica il generico vettore di spin

Per il calcolo delle proprietà termodinamiche di un sistema magnetico è conveniente utilizzare la misura canonica secondo cui la probabilità di una configurazione è data dalla distribuzione di Boltzmann:

$P(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{beta}}}$ con $\beta =frac{1}{(K_{B}T)}$

questa espressione ci permette di conoscere qual è la probabilità di ottenere una data configurazione di spin , dove la probabilità di ciascun sito è pesata con  $Z=e^{\mathrm {B} H(\sigma _{i})}$   dove  $H(\sigma _{i})$  è l'energia di ogni singolo sito e Z rappresenta la funzione di partizione. Quindi sommando i pesi di ciascun sito ottengo  $Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{\beta H(\sigma )}$   che rappresenta la somma di tutti i microstati che possono generare un macrostato di un ensamble statistico. In altre parole il peso statistico che permette di conoscere la probabilità di configurazione di spin cercata. Avendo definito una misura di probabilità  $P(\sigma )$   allora possiamo definire il valore di aspettazione di un dato valore di spin:
 $<\sigma _{0}>={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\sigma _{0}e^{-\beta H(\sigma )}$

data dal valor medio. in realtà possiamo definire un valore di aspettazione per tutte le funzione che dipendono unicametne dallo spin ad esempio la magnetzzazione: $M=<\sum _{j\in \Lambda }\sigma _{i}>$

e valor medio dell'energia E = <H>

Energia e possibili modelli:

Dall'equazione dell'Hamiltoniana totale vista nella definizione possiamo affermare che se il prodotto dei nodi è +1 cioè se i due spin sono uguali (allineati) questo comporta un incremento dell'energia totale del sistema, invece se il prodotto è −1 implica che i due spin sono diversi (anti-allineati) e quindi si osserva una diminuzione dell'energia totale. Il segno meno di ogni termine della funzione Hamiltoniana è una convenzione. Usando questa convenzione, il modello di Ising può essere classificato secondo il segno dell'interazione tra le coppie <i,j>, per cui abbiamo:

Jij>0

, l'interazione è chiamata ferromagnetica

Jij<0

, l'interazione è detta antiferromagnetica

Jij>0

, non si ha interazione tra spin , quind il sistema è detto non ferromagnetico

Nel modello di Ising ferromagnetico, le configurazione nelle quali gli spins adiacenti sono allineati hanno alta probabilità di esisterere. Invece nel modello antiferromagnetico , gli spins adiacenti con più alta probabilità sono quelli di segno opposto.

La convenzione nel segno di H(\sigma) spiega anche come un sito j-esimo interagisce con un campo esterno .Cioè in presenza del campo si possono avere tre casi:

hij>0

lo spin del sito j si allinea nella direzione positiva del campo

hij<0

lo spin del sito j si allinea nella direzione negativa del campo

hij=0

il campo esterno non influenza il sistema interno

Pensiamo ad un reticolo composto da un numero N di celle, ognuna di esse la possiamo interpretare come una particella dotata di momento angolare intrinseco detto di spin che indichiamo con σi

il quale può assumere valore di -1 o +1 per cui fissato un sistema di riferimento, diremo che il numero quantico di spin sarà positivo se il vettore

σi

di momento angolare è diretto lungo una data direzione,e negativo se ha stesso verso ma diretto nella direzione opposta. Dato un reticolo noi non possiamo sapere contemporaneamente il valore di spin associato a ciascun nodo, per questo il modello di Ising richiede una trattazione probailistica al fine di conoscere la probabilità di ottenere una data configurazione di spin. Tale modello è legato alla variazione della temperatura infatti data la cella i-esima supponiamo che ad essa è associaita un'energia

H(σi)

e qundi un peso statistico

ρ∝eβH(σi)

, ma noi abbiamo un numero di celle pari a

LD

dove L è la lunghezza del lato di un reticolo e D è la dimensione nelle quale stiamo lavorando, quindi dobbiamo sommare le energie di ciascuna cella, pesata con il proprio peso statistico , otteniamo così l'energia media del sistema . La somma del peso statistico di ciascuno stato mi da la funzione di partizione del sistema , la quale dipende dalla temperatura. Assumiamo quindi che la tempertura del sistema sia molto grande, al limite che tende a infinito

T→∞

ne segue che l'energia associata alla disposizione degli spins sarà molto più piccola dell'energia termica totale

H(σi)<<KBT , questo significa che nel sistema prevalgono gli effetti legati al rumore termico e quindi prevale lo stato di disordine

reticolo quadrato con gli spins con orientazione up o down casuale

Dall'elettromagnetismo sappiamo che i dipoli sottoposti ad un certo campomagnetico è associata una certa energia che possiamo quantificare. Quindi l'energia del reticolo di Ising è definita come:

H=−∑ijJijSiSj+h∑iSi

  dove la somma conta ogni coppia di nodi una sola volta.

Essa descrive l’interazione di ciascuno spin ( o per meglio dire, di ciascun atomo) con il campo esterno h che possiamo assumere costante. ciascuno spin interagisce con esso allo stesso modo. L'interazione magnetica inoltre tende ad allineare tutti gli atomi in una certa direzione, mentre il rumore termico tende a perturbare l'ordine, sarà effettivamente necessario tener conto della temperatura in questo studio, ed in particolare una temperatura critica TC

. Il vettore di spin è in generale un vettore tridimensionale e se viene trattato come tale nel modello di Ising, questo è detto Sferico .Può però accadere, per la precisa conformazione del reticolo cristallino del materiale, che tutti i vettori siano orientati in un medesimo piano, in modo da poter definire il modello di Ising Planare. Se invece tutti i vettori sono orientati in una particolare direzione in tal caso si arriva a definire il modello di Ising Monodimensionale. la soluzione di quest'ultimo risale alla tesi di dottorato di Ising , tale modello è esattamente risolvibile mediante il metodo della matrice di trasferimento,Storicamente, questa soluzione risale alla teoria Ising (1925) sotto la direzione di Willhelm Lenz. Analizzando il caso monodimensionale affermiamo che il modello di Ising è risolvibile mediante il metodo della matrici di trasferimento. Questa soluzione dimostra che l'energia libera è analitica per qualsiasi temperatura , questo significa che tale modello non ha alcuna transizione di fase . Landau e Lifshitz infatti dimostrarono che ogni modello unidimensionale con una interazione a corto raggio non può possedere una transizione di fase a temperatura positiva, e l'energia necessaria per ottenere un'inversione di spin genera un aumento di entropia del sistema . F. J. Dyson studiarono invece il modello Ising con interazione a lungo raggio sempre in una dimensione studiando il caso

Jij=|i−j|α

e mostrarono come per

α<2

questo modello risulta ordinato per ogni temperatura, invece per

α>2

abbiamo un sistema disordinato, invece solo il caso

α=2

è possibile una transizione di fase Il successivo lavoro di P. W. Anderson, G. e D. Yuval R. Hamman sull'effetto Kondo ha mostrato che c'era una relazione tra il modello di Ising con a lungo raggio σ = 2 e l'effetto Kondo. Il modello con σ = 2 può quindi avere una transizione di fase, che presenta analogie con la transizione Berezinsky Kosterlitz e Thouless.Il modello di Onsager generalizza il metodo delle matrici di trasferimento nel caso bidimensionale , tale metodo è molto complicato per cui altri fisici hanno cercato di sviluppare delle tecniche più semplici per la risoluzione di questo modello , un contributo importante derivò da Kauffmann e successivamente tale approccio venne migliorato da Kac e Ward , i quali cercarono di ridurre il calcolo della funzione di partizione in un'enumerazione di grafici

Proprietà e transizioni di fase

L'energia del sistema (o meglio la sua hamiltoniana) resta immutata per lo scambio contemporaneo di tutti gli in ; questa simmetria discreta viene detta simmetria di parità o . Vista la presenza di questa simmetria, in assenza di campo magnetico in un qualsiasi modello di Ising con un numero finito di dimensioni la magnetizzazione è sempre nulla.