Utente:Max.vaglieco/Sandbox/Cicloide Ellisse

Cicloide Ellisse

A differenza della Cicloide allungata o accorciata, la Cicloide Ellisse, descritta come Le Cicloidi si presenta come una vera e propria Cicloide regolare.

La Cicloide regolare come la conosciamo è la somma di un moto circolare e uno rettilineo (dato dal valore del Perimetro della Circonferenza stessa) e la sua equazione come la conosciamo sarà:
${\begin{cases}x=(R\alpha -R\cos(270^{0}+\alpha )\\y=R\sin(270^{0}+\alpha )\qquad con\qquad \alpha \in (0,2\pi )\end{cases}}$
Ora il valore massimo sull’ascissa di Rα è 2Rπ e tale valore può essere parametrizzato in (2Rπ sin⁡α) e sostituito a Rα ed in questo caso il percorso di 2Rπ in funzione di sinα è percorso 4 volte dal centro della Circonferenza in conseguenza del valore del sinα da (0,1) a (1,0) e da (0,-1) a (-1,0) tornando quindi al punto di partenza e chiudendo la traiettoria con una Ellisse di coordinate

Cicloide Ellisse

${\begin{cases}x=2R\pi \sin \alpha +R\sin \alpha =R(2\pi +1)\sin \alpha \\y=R\cos \alpha \end{cases}}$
con i semi-assi dell’Ellisse:

${\begin{cases}a=R(2\pi +1)\quad asse-maggiore\\b=R\quad asse-minore\end{cases}}$
In generale un punto P (come in figura) che si muova secondo una Circonferenza di raggio R e angolo $\alpha$, il cui centro a sua volta si sposta lungo un qualunque tratto rettilineo (in verde nella figura) OS il cui valore viene parametrizzato, genera una ellisse, di semiassi:
${\begin{cases}a=OS+R\\b=R\end{cases}}\quad$ oppure dati gli assi di una Ellisse $\quad {\begin{cases}OS=(a-b)\cos \alpha \\R=b\end{cases}}$
con le relative coordinate:
${\begin{cases}x=R\cos \alpha +OS\\y=R\sin \alpha \end{cases}}$
Vedere un Applet della figura:Cicloide Ellisse