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Due involute (rosso) di una parabola

In matematica, date due curve $\gamma$ e $\delta$, si dice che $\delta$ è involuta (o evolvente) di $\gamma$, o che $\gamma$ è evoluta di $\delta$, se $\delta$ appartiene allo spazio generato dal vettore tangente di $\gamma$ per ogni punto del dominio e se gli spazi 1-dimensionali generati dai vettori tangenti di $\gamma$ e $\delta$ siano ortogonali in tutto il loro dominio. Per esempio la curva dei centri dei cerchi osculatori di $\gamma$ è un’evoluta di $\gamma$.

Geometricamente, un'involuta, è un particolare tipo di curva che dipende da un'altra forma o curva. L'involuta di una curva è il luogo dei punti toccati dall'estremo di un pezzo di corda tesa mentre viene avvolta (o srotolata, in modo geometricamente equivalente ) attorno alla curva data.

Le involute appartengono alla famiglia di curve chiamate roulette .

L'evoluta di un'involuta è quindi la curva originaria.

Le nozioni dell'involuta e dell'evoluta di una curva furono introdotte da Christiaan Huygens nel suo lavoro intitolato Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato dimostrationes geometricae (1673).

Involuta di una curva parametrizzata

Sia ${\vec {c}}(t),\;t\in [t_{1},t_{2}]$ una curva regolare sul piano con curvatura mai nulla e $a\in (t_{1},t_{2})$, allora la curva con la rappresentazione parametrica

${\vec {C}}_{a}(t)={\vec {c}}(t)-{\frac {{\vec {c}}'(t)}{|{\vec {c}}'(t)|}}\;\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw$

è un'involuta della curva data.

(Dimostrazione)

La corda funge da tangente alla curva (). La sua lunghezza viene modificata di un valore pari alla lunghezza dell'arco attraversata mentre si snoda o si annoda. La lunghezza dell'arco della curva attraversata nell'intervallo () è dato da

()

dove () è il punto iniziale da cui viene misurata la lunghezza dell'arco. Poiché il vettore tangente rappresenta la corda tesa qui, otteniamo il vettore corda come

()

Il vettore corrispondente al punto finale della stringa () può essere facilmente calcolato utilizzando la somma vettoriale e si ottiene

()

Aggiungendo di un numero arbitrario ma fisso $l_{0}$ all'integrale ${\Bigl (}\int _{a}^{t}|{\vec {c}}'(w)|\;dw{\Bigr )}$ risulta in un'involuta corrispondente a una corda estesa di $l_{0}$ (come una palla di filo si lana, avente una certa lunghezza di filo già appeso prima che sia svolto). Quindi, l'involuta può variare di una costante $a$ e/o aggiungendo un numero all'integrale (vedi Involuta di una parabola semicubica ).

Se ${\vec {c}}(t)=(x(t),y(t))^{T}$ si ottiene

${\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}$

Proprietà delle involute

Involuta: proprietà. Gli angoli rappresentati sono di 90 gradi.

Per ricavare le proprietà di una curva regolare è vantaggioso utilizzare la lunghezza dell'arco $s$ come il parametro della curva assegnata, che porta alle seguenti semplificazioni: $\;|{\vec {c}}'(s)|=1\;$ e $\;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;$, con $\kappa$ la curvatura e ${\vec {n}}$ l'unità normale. Si ottiene per l'involuzione:

${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\$ e

${\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;$

e la dichiarazione:

• Al punto ${\vec {C}}_{a}(a)$ l'involuta non è regolare (perché $|{\vec {C}}_{a}'(a)|=0$ ),

e da $\;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;$ segue:

• La normale dell'involuta al punto ${\vec {C}}_{a}(s)$ è la tangente della curva data nel punto ${\vec {c}}(s)$ .
• Le involute sono curve parallele, poiché ${\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)$ e il fatto, quello ${\vec {c}}'(s)$ è l'unità normale a ${\vec {C}}_{0}(s)$ .

Esempi

Involuta di un cerchio

Involuta di un cerchio

Per un cerchio con rappresentazione parametrica $(r\cos(t),r\sin(t))$, si ha ha ${\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)$ . Quindi $|{\vec {c}}'(t)|=r$ e la lunghezza del percorso è $r(t-a)$ .

Valutando l'equazione sopra indicata, si ottiene

${\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}$()

per l' equazione parametrica della spirale del cerchio.

e

La lunghezza dell'arco per $a=0$ e $0\leq t\leq t_{2}$ dell'incavo è

$L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.$

Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola.

Involute di una catenaria

L' equazione parametrica dell'involuta è quindi ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$

**************

${\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

Eliminando t si ottiene $Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},$ dimostrando che questa è l'involuta di una parabola .

Le altre involute sono quindi curve parallele di una parabola e non sono parabole, poiché sono curve di grado sei.

L'involuta (rossa) di una catenaria (blu) è una trattrice.

Involute di una cicloide

Per la catenaria $(t,\cosh t)$, il vettore tangente è ${\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)$, e come $1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$ la sua lunghezza è $|{\vec {c}}'(t)|=\cosh t$ . Quindi la lunghezza dell'arco dal punto (0, 1) è $\textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.$

Quindi l'involuta a partire da (0, 1) è parametrizzato da

$(t-\tanh t,1/\cosh t),$

ed è quindi una trattrice.

Le altre involute non sono trattrici, poiché sono curve parallele di una trattrice.

Involute di una parabola semicubica (blu). Solo la curva rossa è una vera parabola.

La rappresentazione parametrica ${\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$ descrive una cicloide . A partire dal ${\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)$, si ottiene (dopo aver usato alcune formule trigonometriche)

$|{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},$

L' evoluta di una data curva $c_{0}$ è costituita dai centri di curvatura di $c_{0}$. Tra involute ed evolute vale la seguente dichiarazione:

$\int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.$

Quindi le equazioni del corrispondente involuto sono

${\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}$

che descrivono la cicloide rossa spostata del diagramma. Quindi

• Le involute della cicloide $(t-\sin t,1-\cos t)$ sono curve parallele della cicloide

$(t-\tanh t,1/\cosh t),$

(Le curve parallele di una cicloide non sono cicloidi. )

Involute ed evolute

L' evoluta di una data curva $c_{0}$ è costituita dai centri di curvatura di $c_{0}$. Tra involute ed evolutei vale la seguente dichiarazione:

Una curva è l'evoluta di una qualsiasi delle sue evolventi (involute).

Applicazioni

L'involuta ha alcune proprietà che lo rendono estremamente importante per l'industria degli ingranaggi: se due ingranaggi a maglie incrociate hanno denti con la forma del profilo di involute (piuttosto che, ad esempio, una forma triangolare tradizionale), formano un sistema di ingranaggi a spirale. Le loro velocità di rotazione relative sono costanti mentre i denti sono impegnati. Gli ingranaggi inoltre entrano sempre in contatto lungo un'unica linea di forza costante. Con denti di altre forme, le velocità e le forze relative aumentano e diminuiscono quando i denti successivi si impegnano, provocando vibrazioni, rumore e usura eccessiva. Per questo motivo, quasi tutti i moderni ingranaggi hanno la forma a evolvente.

Meccanismo di un compressore scroll

Vedi anche

• Evoluta
• Compressore scroll
• Ingranaggio a spirale
• Roulette (curva)

link esterni

• Involuta in MathWorld

[[Categoria:Geometria differenziale]]