Utente:Pino723/Sandbox/s5

Test di adattamento di Kolmogorov-Smirnov per dati continui

Confronto tra funzione di ripartizione empirica (in blu) e funzione di ripartizione teorica (in rosso)

Considerando un campione di dati $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ proveniente da una distribuzione continua si vuole verificare l'ipotesi nulla che la relativa funzione di ripartizione sia una certa $F$ assegnata; a tal scopo si definisce la funzione di ripartizione empirica:

$F_{e}(x):={\frac {\#\{i:x_{i}\leq x\}}{n}}$

dove # indica la cardinalità o il numero di elementi dell'insieme.

In base a tale definizione, $F_{e}(x)$ è uguale alla frazione dei dati del campione minori o uguali a $x$, e quindi rappresenta la funzione di ripartizione della variabile aleatoria discreta che può assumere gli $n$ valori osservati con uguale probabilità, e risulta essere una funzione a gradini.

Poiché $F_{e}$ è uno stimatore della probabilità che un'osservazione sia minore o uguale a $x$, cioè della funzione di ripartizione reale dei dati, se l'ipotesi nulla fosse vera, allora $F$ e $F_{e}$ non devono scostarsi più di quanto sia ragionevole aspettarsi.

Per valutare l'entità di tale scostamento si definisce la statistica del test di Kolmogorov-Smirnov:

$D:={\underset {-\infty <x<\infty }{\max }}|{F_{e}(x)-F(x)}|$

Chiamato $d$ il valore assunto dalla statistica $D$, si definisce il p-dei-dati come:

$p:=P_{F}(D\geq d)$

essendo $P_{F}$ la probabilità che $D$ sia maggiore o uguale a $d$ nell'ipotesi che $F$ sia la vera distribuzione della popolazione.

Poiché è dimostrabile che la distribuzione di $D$, e quindi anche $P_{F}$, non dipende dalla scelta di $F$, si può stimare $p$ simulando una qualunque distribuzione continua su $F$, anche quella uniforme su (0, 1).

Per effettuare un test con significatività $\alpha$ che in prima approssimazione non dipenda da $n$ si può definire la quantità $D^{*}$:

$D^{*}:=D\cdot {\biggl (}{\sqrt {n}}+0,12+{\frac {0,11}{\sqrt {n}}}{\biggr )}$

per cui i valori critici $d_{\alpha }^{*}$ sono quelli che soddisfano la relazione:

$P_{F}(D^{*}\geq d_{\alpha }^{*})=\alpha$

Perciò, in un test con significatività $\alpha$ si rifiuta l'ipotesi nulla che $F$ sia la distribuzione reale della popolazione se il valore $D^{*}$ ottenuto dai dati risulta maggiore di $d_{\alpha }^{*}$.

Approssimazioni di $d_{\alpha }^{*}$ per valori notevoli di $\alpha$

Livello di significatività $\alpha$	0,10	0,05	0,025	0,01
Valore critico $d_{\alpha }^{*}$	1,224	1,358	1,480	1,626

• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica : per l'ingegneria e le scienze, a cura di Francesco Morandin, 3. ed, Maggioli, 2015, ISBN 978-88-916-0994-6, OCLC 918982377.