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In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Indice

Nel calcolo delle probabilitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della probabilità.

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale   a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore   la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale   assume valori minori o uguali ad  ".

In altre parole, è la funzione   con dominio la retta reale e immagine l'intervallo   definita da

 

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

 
 
 

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se   è una variabile casuale discreta e   un punto del suo supporto, allora   è una funzione a gradino e dunque

 

(ponendo senza restrizioni di generalità  ) poiché è una costante indipendente da  , mentre

 

dunque essendo   si ha che   non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile   associa la probabilità che   cada in  [1].

ProprietàModifica

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione  :

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Se   è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di   può essere espressa come funzione integrale:

 

ove   è detta funzione di densità di  . Si può anche considerare la relazione inversa:

 

Se   è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori  )

 

dove   è detta funzione di probabilità di  .

EsempiModifica

 
Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se   è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

 

dove con   si indica la parte intera di x.

Se   è la variabile casuale uniforme continua in   si ha

 .

Funzione di sopravvivenzaModifica

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore   (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza   (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

 

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

 

e

 

Ogni funzione di sopravvivenza   è una funzione monotona decrescente, vale a dire   per  

Il tempo   rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.


Variabili aleatorie multivariateModifica

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria   a valori in   è la funzione   con dominio   e codominio l'intervallo   definita da

 

dove   sono le componenti di  .

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

  • Per qualsiasi  ,  
  •   è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se  ,  
  • se   per semplicità,  
  •   dove   è la funzione di ripartizione della variabile  -variata  .

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

 

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici  .

In statistica descrittivaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Statistica descrittiva.

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con   e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore  .

Se   sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative   la funzione di ripartizione ha espressione analitica

 

Le   sono dette frequenze relative cumulate.

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
  • (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.

Voci correlateModifica

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