In matematica, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ rappresenta un esempio elementare di una serie geometrica che converge assolutamente. La sua somma vale
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
1
2
)
n
=
1
2
1
−
1
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.}
La somma
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }
è definibile come
s
n
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
⋯
+
1
2
n
{\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}}
per n che tende a infinito. Moltiplicando
s
n
{\displaystyle s_{n}}
2
s
n
=
2
2
+
2
4
+
2
8
+
2
16
+
⋯
+
2
2
n
=
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
⋯
+
1
2
n
−
1
=
1
+
s
n
−
1
2
n
.
{\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.}
e sottraendo
s
n
{\displaystyle s_{n}}
s
n
=
1
−
1
2
n
.
{\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}
quindi, per n che tende a infinito,
s
n
{\displaystyle s_{n}}
