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1leftarrow blue.svgVoce principale: Paradossi di Zenone.

Indice

Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso. È stato proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento fosse un'illusione.

La corsa della tartarugaModifica

La descrizione di AristoteleModifica

Aristotele espone il paradosso così: «Un mobile più lento non può essere raggiunto da uno più rapido; giacché quello che segue deve arrivare al punto che occupava quello che è seguito e dove questo non è più (quando il secondo arriva); in tal modo il primo conserva sempre un vantaggio sul secondo».[1]

La descrizione di BorgesModifica

 
Rappresentazione del paradosso di Achille e la tartaruga secondo la descrizione di Borges. Sull'asse sono indicate le distanze (in metri) percorse da Achille e dalla tartaruga.

Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges[2]: «Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Un altro approccio considera il significato fisico degli intervalli spaziali, le cui dimensioni dopo pochi passaggi sono estremamente ridotte, perché secondo la meccanica quantistica non ha senso considerare intervalli più piccoli di una determinata dimensione.[3]

Le soluzioni del paradossoModifica

La confutazione più immediata è del filosofo Diogene di Sinope, che non disse nulla sugli argomenti portati da Zenone, ma si alzò e camminò, allo scopo di dimostrare la falsità delle conclusioni di quest'ultimo.[4]

Secondo Aristotele, invece, il tempo e lo spazio sono divisibili all'infinito in potenza, ma non sono divisibili all'infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.

Soluzione matematica[5]Modifica

In termini matematici, il paradosso è attualmente confutabile riconducendolo allo studio di una serie geometrica. In particolare, Achille dovrà impiegare un tempo   per raggiungere la tartaruga, e   è composto di un'infinità di tempi, in simboli:

 

Poniamo il problema in un sistema di riferimento:

  • la posizione iniziale di Achille si trova nell'origine, mentre quella della tartaruga a una distanza   da essa;
  • le distanze successive percorse dalla tartaruga sono indicate con   e così via;
  • la velocità di Achille sarà chiamata  , mentre quella della tartaruga   e si ha che  
  • poniamo infine una costante   dal punto precedente segue che  

Per la legge oraria del moto rettilineo uniforme, Achille impiega un tempo   per percorrere la distanza  . In questo tempo, la tartaruga è avanzata di  . A questo punto Achille percorrerà la distanza   in   e la tartaruga percorrerà uno spazio   e così via per le iterazioni successive. Da ciò si ottiene che

 

Se vogliamo esprimere il tempo   in termini di   dobbiamo dunque considerare che

 

Si può dimostrare per induzione a partire da questa equazione che

 

Utilizziamo questa uguaglianza per riscrivere   come

 

La somma   è una serie geometrica di ragione  , e il valore di questa somma è  .[6]

Per questo motivo, Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo

 

NoteModifica

  1. ^ C. Ranzoli, Dizionario di scienze filosofiche, 6ª ed., Hoepli, 1963.
  2. ^ Jorge Luis Borges, "Altre inquisizioni", Feltrinelli, 1973, "Metamorfosi della tartaruga"
  3. ^ Il paradosso di Achille e la tartaruga rivisitato - Riflessioni sulle Scienze di Alberto Viotto
  4. ^ Zeno's Paradoxes
  5. ^ Marson, Baiti, Ancona, Rubino, Analisi Matematica 1 - Teoria e applicazioni, Roma, Carocci, 2010, pp. 244-245, ISBN 978-88-43052-89-9.
  6. ^ In termini matematicamente più rigorosi: la serie converge a . Per approfondimenti consultare la sezione dedicata.

Voci correlateModifica