Paradosso di Achille e la tartaruga

1leftarrow blue.svgVoce principale: Paradossi di Zenone.

Il paradosso di “Achille e la Tartaruga” è il Paradosso di Zenone più famoso. È stato proposto nel V sec. a.C. da Zenone di Elea per difendere le tesi del suo maestro Parmenide, che sosteneva che il movimento fosse un'illusione.

La corsa della tartarugaModifica

La descrizione di AristoteleModifica

Aristotele espone il paradosso così (Fisica, Libro VI, capitolo 9, 239b 14-20) : «Il secondo argomento prende il nome "dell'Achille" e consiste in questo: il concorrente più lento nella corsa non sarà mai raggiunto dal più veloce perché l'inseguitore prima sarebbe costretto a raggiungere il luogo da cui quello che fugge ha preso le mosse, e intanto, di necessità, il più lento sarà sempre un po' più avanti.».[1]

La descrizione di BorgesModifica

 
Rappresentazione del paradosso di Achille e la tartaruga secondo la descrizione di Borges. Sull'asse sono indicate le distanze (in metri) percorse da Achille e dalla tartaruga.

Una delle descrizioni più famose del paradosso è dello scrittore argentino Jorge Luis Borges[2]: «Achille, simbolo di rapidità, deve raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all'infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla».

Le soluzioni del paradossoModifica

La confutazione più immediata è del filosofo Diogene di Sinope, che non disse nulla sugli argomenti portati da Zenone, ma si alzò e camminò, allo scopo di dimostrare la falsità delle conclusioni di quest'ultimo.[3]

Secondo Aristotele, invece, il tempo e lo spazio sono divisibili all'infinito in potenza, ma non sono divisibili all'infinito in atto. Una distanza finita, che secondo Zenone non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, è infinita nella considerazione mentale, ma in concreto si compone di parti finite e può essere percorsa.

Soluzione matematica[4]Modifica

Zenone supponeva implicitamente che la somma di infinite lunghezze, per quanto piccole, desse sempre un risultato infinito. Quest'ipotesi, che sembra ragionevole dal punto di vista intuitivo, si rivela tuttavia errata matematicamente, vista l'esistenza delle serie convergenti.

Il paradosso è confutabile riconducendolo allo studio di una serie geometrica, già utilizzata in casi particolari da Archimede ma formalizzata solo nel XIX secolo da Gauss.

Nello specifico, si va a studiare il problema ponendo   come il tempo impiegato da Achille per raggiungere la tartaruga. Si osserva che tale tempo è composto in realtà dalla somma dei tempi impiegati da Achille per percorrere le infinite distanze (sempre minori) che lo separano dai punti via via raggiunti dalla tartaruga mentre lui correva. In simboli:

 

Si osserva infine che tale somma infinita è riconducibile a una serie geometrica di ragione strettamente compresa tra -1 e 1, e dunque convergente. Per questo   è un valore finito e il paradosso si può considerare risolto, dato che Achille impiegherà un tempo finito e non infinito per raggiungere la tartaruga.

Dimostrazione

Poniamo Achille e la tartaruga su una retta positivamente orientata:

  • la posizione iniziale di Achille si trova nel punto  ;
  • la posizione iniziale della tartaruga si trova nel punto  ;
  • le distanze percorse dalla tartaruga nei tempi   sono indicate con  ;
  • la velocità di Achille sarà chiamata  ;
  • la velocità della tartaruga sarà chiamata  ;

Consideriamo infine una costante   che sarà la ragione della serie geometrica da studiare. Dato che ovviamente  , notiamo che  

Per la legge oraria del moto rettilineo uniforme, Achille impiega un tempo   per percorrere la distanza  .

In questo tempo, la tartaruga è avanzata di  .

A questo punto Achille percorrerà la distanza   in  , mentre la tartaruga percorrerà uno spazio ulteriore  . Quest'ultimo processo si ripete infinite volte, e perciò si ottiene che

 

Se vogliamo esprimere il tempo   in termini di   dobbiamo dunque considerare che

 

Si può dimostrare per induzione a partire da questa equazione che

 

Utilizziamo questa uguaglianza per riscrivere   come

 

La somma   è una serie geometrica di ragione  , e il valore di questa somma è  .[5]

Per questo motivo, Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo finito pari a

 

NoteModifica

  1. ^ Fisica, Milano, Bompiani, 2011.
  2. ^ Jorge Luis Sal Borges, "Altre inquisizioni", Feltrinelli, 1973, "Metamorfosi della tartaruga"
  3. ^ Zeno's Paradoxes
  4. ^ Marson, Baiti, Ancona, Rubino, Analisi Matematica 1 - Teoria e applicazioni, Roma, Carocci, 2010, pp. 244-245, ISBN 978-88-430-5289-9.
  5. ^ In termini matematicamente più rigorosi: la serie converge a . Per approfondimenti consultare la sezione dedicata.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica