1 − 3 + 9 − 27 + · · ·

In matematica, 1 − 3 + 9 − 27 + ... è una serie infinita i cui termini sono i successivi fattori di tre a segno alternato. Come una serie geometrica, essa è caratterizzata da un primo termine, 1, e da una proporzione comune, −3.

$\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}$

È possibile con un piccolo accorgimento, scrivere la serie come differenza di altre due serie, separando le potenze pari e dispari:

$1-3+9-27+\cdots =(1+9+\cdots )-(3+27+\cdots )$ che corrisponde a $\sum _{i=0}^{\infty }(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}-\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}$.

Sommatoria numero 1

Analizziamo ora la prima sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i}=(3^{2})^{i}=9^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$;

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$\sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$

Sommatoria numero 2

Analizziamo ora la seconda sommatoria: $\sum _{i=0}^{\infty }3^{2i+1}$.

1) Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere $3^{2i+1}=3\cdot (3^{2})^{i}=3\cdot 9^{i}$ facendo diventare la somma $\sum _{i=0}^{\infty }3\cdot 9^{i}$, il $3$ si può portare fuori e ottenere $3\cdot \sum _{i=0}^{\infty }9^{i}$.

2) Ponendo un numero m come punto finale otterremo che:$3\cdot \sum _{i=0}^{m}9^{i}={\frac {3}{8}}\cdot (9^{m+1}-1)$.

Somma parziale

Ritornando alla somma iniziale possiamo discutere la sua somma parziale.

Valore Dispari

Caso nº1: il numero è dispari.

$\sum _{i=0}^{1}(-3)^{i}=1-3=\sum _{i=0}^{0}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^{3}(-3)^{i}=1-3+9-27=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{1}3^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i}-\sum _{i=0}^{\frac {m-1}{2}}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (3^{m+1}-1)=-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$

Più precisamente abbiamo che:$9^{{\frac {m-1}{2}}+1}=3^{m+1}$

Valore Pari

Caso nº2: il numero è pari.

$\sum _{i=0}^{2}(-3)^{i}=1-3+9=\sum _{i=0}^{1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{0}3^{2i+1}$

$\sum _{i=0}^{4}(-3)^{i}=1-3+9-27+81=\sum _{i=0}^{3}3^{2i}-\sum _{i=0}^{2}3^{2i+1}$

$\cdots$

$\sum _{i=0}^{m}(-3)^{i}=\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}$

La somma diventa quindi:$\sum _{i=0}^{m-1}3^{2i}-\sum _{i=0}^{m-2}3^{2i+1}={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-1)-{\frac {3}{8}}\cdot (9^{m-1}-1)={\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$ .

In generale

Abbiamo così ottenuto le formule per calcolare la somma in tutti i casi:

m dispari = $-{\frac {1}{4}}\cdot (3^{m+1}-1)$

m pari = ${\frac {1}{8}}\cdot (9^{m}-3\cdot 9^{m-1}+2)$

Voci correlate

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