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Serie geometrica

somma di una progressione geometrica finita

In matematica, una serie geometrica è una serie tale per cui il rapporto tra due termini successivi è costante.

DefinizioneModifica

La serie geometrica è una serie del tipo  . In modo equivalente, può essere definita come il limite della successione delle somme parziali  , in cui:

 

La somma parziale  -esima di una serie geometrica è dunque la somma per   che va da zero ad   di  . Il rapporto di ogni termine della somma rispetto al termine precedente è costantemente uguale a   ed è detto ragione della serie.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il valore di questi ultimi può essere calcolato direttamente con le formule illustrate successivamente. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

FormuleModifica

Possiamo dimostrare che   in diversi modi.

Dimostrazione 1

Consideriamo:   Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per  . Vediamo che i termini del polinomio da   a   si semplificano con i corrispondenti della sommatoria:

 

Spostando il termine   al secondo membro si ottiene rapidamente la somma per la serie geometrica:

 
Dimostrazione 2

Un altro modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da   ad n consiste nel partire da:

  quindi sottrarre   e dividere tutto per   ambo i membri
  poiché   allora possiamo scrivere
  facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:
  con un ultimo passaggio   è la somma che stavamo cercando.
Dimostrazione 3

È possibile dimostrare che   anche per induzione. Osserviamo che per   si ottiene   pertanto la base induttiva è verificata. Supponiamo che la formula sia vera per  , ovvero che la somma dei primi   termini valga proprio  , allora la somma dei primi   termini vale

 

Pertanto la formula, supposta vera per i primi   termini, è vera anche per i primi   termini, pertanto è stato dimostrato per induzione matematica che:  

Osserviamo che tale formula è valida per  , se   la somma vale banalmente  .

Se la serie non parte da  , ma da un altro termine  , allora

 

Derivando la somma rispetto a   si possono trovare formule per somme del tipo

 

ad esempio:

 

Comportamento della serieModifica

La serie ha il seguente carattere:

  • divergente per   perché si ha   e per il teorema del confronto diverge;
  • indeterminata per   perché si ha   e   non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che  );
  • indeterminata nel caso  , poiché la funzione somma oscilla tra   e  
  • convergente quando  

Se infatti   la somma della serie esiste e vale

 

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di   sia minore di  , e anche nel campo dei numeri p-adici se  . In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Dimostrazione alternativa

Si ha che   ;

allora  

Pertanto vale  

A questo punto, se e solo se  , ha senso scrivere:   , c.v.d.

Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

 

Questa formula naturalmente è valida solo per  .

Stima della sommaModifica

Per effettuare la stima della somma geometrica finita conoscendo quella infinita, spezziamo la serie come segue

 

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a   otteniamo che

 

Serie geometrica troncataModifica

Se si pone che   si ha che:

 

La funzione   viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore   (dove con   si indica la derivata) si ha che

 

riconducendosi alla serie geometrica troncata. Quindi si ha

 

EsempiModifica

Si vuole calcolare la seguente sommatoria:

 

Consideriamo la funzione

 

e osserviamo che la sua derivata è data da

 

questo significa che

 

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di   in  . Poiché   per ogni   otteniamo

 

e di conseguenza

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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