Algebra di divisione

In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

Definizione

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Sia   un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento   ed ogni altro elemento non-nullo b di   esiste esattamente un elemento   di   tale che  , ed esattamente un elemento   di   tale che  , allora   è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni   dell'algebra esiste un   tale che  , ove   è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali  .

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi  . Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a  .

I quaternioni   sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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