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Algebra di divisione

In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

DefinizioneModifica

Sia   un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento   ed ogni altro elemento non-nullo b di   esiste esattamente un elemento   di   tale che  , ed esattamente un elemento   di   tale che  , allora   è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni   dell'algebra esiste un   tale che  , ove   è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

EsempiModifica

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali  .

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi  . Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a  .

I quaternioni   sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlateModifica

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