Numero complesso

numero formato da una parte immaginaria e da una parte reale

Con l'espressione numero complesso si intende un numero formato da una parte immaginaria e da una parte reale. Può essere perciò rappresentato dalla somma di un numero reale e di un numero immaginario (cioè un multiplo dell'unità immaginaria, indicata con la lettera ). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (e notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente in elettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.

In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti del piano, detto piano complesso. La proprietà più importante che caratterizza i numeri complessi è il teorema fondamentale dell'algebra, che asserisce che qualunque equazione polinomiale di grado n ha esattamente n soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

Indice

Introduzione informaleModifica

L'unità immaginariaModifica

Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.

I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

 

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore  , chiamato anche unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:

 

I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

 

dove   e   sono numeri reali, mentre   è l'unità immaginaria.

Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che  .

Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso   si associa il punto di coordinate cartesiane  .

Equazioni a coefficienti reali con soluzioni non realiModifica

Usando la relazione   si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado

 

con  , incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di discriminante negativo:

 

Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione

 

che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:

 

Ad esempio:

 

Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un numero reale.

Cenni storiciModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Storia dei numeri complessi.

I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione Dal Ferro, il Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota Ars Magna del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.

Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo iniziarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.

TerminologiaModifica

In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.

Definizione modernaModifica

Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali  . Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:

 
 

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con  .

Il numero complesso   viene identificato con il numero reale  , mentre il numero   è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera  . L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

 

Ogni numero complesso   si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:

 

I numeri a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z. Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:

 

Definizioni alternativeModifica

Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali.

Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio  :

 

Questo è effettivamente un campo perché   è irriducibile. La radice del polinomio   è l'unità immaginaria  , quindi l'anello quoziente è isomorfo a  .

GeometriaModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Rappresentazione dei numeri complessi e Piano complesso.

Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che

 

essendo   e   funzioni trigonometriche.

Le formule inverse sono:

 
  per  
  per  

Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere   come

 

tramite la funzione esponenziale. Qui   è il modulo (o valore assoluto o norma) e   (detta Anomalia) è l'argomento di  . L'argomento è determinato da   se è inteso nell'intervallo  , altrimenti è definito solo a meno di somme con   per qualche intero  .

Operazioni con i numeri complessiModifica

Modulo e distanzaModifica

 

Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:

 
 
  se  ,

valide per tutti i numeri complessi   e  .

La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.

La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da

 .

ConiugatoModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Complesso coniugato.

Il complesso coniugato del numero complesso   è definito come

 

A volte è anche indicato come  . Nel piano complesso   è ottenuto da   per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

 
 
 
 
 
 
 

ReciprocoModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Inverso di un numero complesso.

Conoscendo il valore assoluto ed il coniugato di un numero complesso   è possibile calcolare il suo reciproco   attraverso la formula:

 

Ovvero, se   otteniamo

 

Somma algebricaModifica

Valgono le relazioni

 
 

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.

ProdottoModifica

Vale

 

In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione

 

e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi

 

assume la forma più agevole

 

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

Questa affermazione consente di dimostrare la regola dei segni del prodotto:  . Difatti se si considera che l'argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l'argomento di un numero reale positivo.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento   produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente la moltiplicazione per   e poi ancora per   produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che  .

RapportoModifica

Il rapporto fra due numeri complessi   e   è dato da:

 

Usando la rappresentazione

 

il rapporto di due numeri complessi è

 

PotenzeModifica

Rappresentando ogni numero complesso come

 

è facile descrivere la potenza  -esima

 

per ogni   intero. Con una notazione lievemente differente:

 

Si ottiene la formula di De Moivre:

 

Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente   radici  -esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.

  Lo stesso argomento in dettaglio: Radice dell'unità.

EsponenzialeModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: esponenziale complesso.

La funzione esponenziale complessa   è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:

 

In particolare, se   si ottiene

 

facendo uso della formula di Eulero.

LogaritmoModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: logaritmo complesso.

Il logaritmo naturale   di un numero complesso   è per definizione un numero complesso   tale che

 

Se

 

il logaritmo di   è un qualsiasi numero complesso   del tipo

 

dove   è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore   è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di  .

Se   si può scrivere

 

In questo caso, se   è reale (cioè se  ) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.

EsempiModifica

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che

 

La prima possibilità è quella di porre   e di uguagliare la parte reale di   alla parte reale del coniugato di   e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:

 
 

da cui si ricavano 7 soluzioni:

 

In alternativa, si può usare la rappresentazione polare

 

e uguagliare le norme e gli argomenti di   e del coniugato di  , ottenendo anche qui due equazioni:

 
 

con  . Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio

 

Alcune proprietàModifica

Perdita dell'ordinamentoModifica

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che

 
 

come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se   è maggiore o minore di  , né studiare disequazioni nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece  

Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di ordine lessicografico, e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in ZFC stante l'assioma della scelta), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla metrica indotta da una norma.

Piano cartesianoModifica

 
Funzione logaritmica: tutte le coppie (x;y) con x negativa sono numeri complessi e non possono essere rappresentati nel piano, prescindendo dalla base scelta: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7.

Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate  , poiché essendo   complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta  .

Spazio dei vettori realiModifica

L'insieme   è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso ad una dimensione (come tutti i campi), ed uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.

Soluzioni delle equazioni polinomialiModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema fondamentale dell'algebra.

Una radice complessa di un polinomio   a coefficienti reali è un numero complesso   tale che  . Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio di grado   ha esattamente   soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un campo algebricamente chiuso.

Analisi complessaModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Analisi complessa.

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto analisi complessa e trova largo impiego nella matematica applicata e nella teoria dei numeri, oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'analisi reale o persino della teoria dei numeri impiegano tecniche di analisi complessa (vedi teorema dei numeri primi per un esempio). Diversamente dalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore sopperisce alla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce Immagini conformi). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

ApplicazioniModifica

In matematicaModifica

I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'analisi complessa o la geometria algebrica. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.

  • Equazioni differenziali: Le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti si risolvono trovando le radici complesse di un polinomio associato all'equazione.

In fisicaModifica

  • Dinamica dei fluidi: Nella dinamica dei fluidi i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

IngegneriaModifica

I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici. Sono molto usati anche nell'ingegneria elettrica, soprattutto per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza.

Analisi dei segnaliModifica

I numeri complessi vengono utilizzati nell'analisi dei segnali e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |z| è interpretato come l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di z è interpretato come la fase. I numeri complessi rendono possibile anche l'analisi di Fourier, che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-invariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

 

dove ω è la pulsazione della sinusoide e z la sua ampiezza.

Elettrotecnica ed elettronicaModifica

Nell'ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente. L'analisi dei componenti resistivi, capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza, semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo, stabilivano j = -i, cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j=i

BibliografiaModifica

  • (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
  • (EN) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis; Springer-Verlag (2005).
  • (EN) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4.
  • (EN) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
  • (EN) Tristan Needham, Visual Complex Analysis; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.

Voci correlateModifica

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