Algoritmo per il calcolo della radice n-esima
La radice -esima, di un numero reale non negativo, è la soluzione reale non negativa dell'equazione
In questa voce è descritto un metodo numerico, che converge velocemente, per il calcolo di questa radice. I passi dell'algoritmo sono:
- si prova a stimare un valore iniziale di partenza
- si pone che equivale a con
- si ripete il secondo passo fino a che si raggiunge la precisione desiderata, cioè
Un caso speciale è il calcolo numerico della radice quadrata, cioè il caso :
La derivazione dell'algoritmo si basa sul metodo numerico di Newton-Raphson.
Derivazione dal metodo di Newton-Raphson
modificaIl metodo delle tangenti o di Newton-Raphson è un metodo per trovare numericamente lo zero di una funzione Lo schema generale è:
- partire da una stima iniziale
- ripetere il secondo passo fino a che si raggiunga la precisione desiderata.
Il calcolo numerico della radice -esima si può concepire come la ricerca di uno zero della funzione la cui derivata è:
In questo modo si costruisce l'iterazione:
Esempio numerico
modificaSi vuole calcolare la radice quarta di
6901827461 |
Si imposta un primo valore, ad esempio 1000. Utilizzando un foglio di calcolo si può verificare una veloce convergenza:
6901827461 |
e l'esponente della radice nella casella A2.
Si pone la stima iniziale, 1000, nella casella B2.
I valori vengono generati inserendo nella casella B3: (($A$2–1)*B2+$A$1/B2^($A$2–1))/$A$2
Bibliografia
modifica- Kendall E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd, New York, Wiley, 1989, ISBN 0-471-62489-6.