Approssimazione di Kochański

In matematica, l'approssimazione di Kochański consente di ottenere un valore approssimato di π a partire da una particolare costruzione geometrica. Prende il nome dal religioso gesuita e matematico polacco Adam Adamandy Kochański, che per primo la propose nel suo trattato Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae del 1685, dedicato al problema della rettificazione della circonferenza^[1]^[2].

Costruzioni

La costruzione di Kochański, così come appare nell'Observationes Cyclometricæ.

La costruzione che segue è la versione originale che compare nel trattato di Kochański e fornisce una soluzione al problema della rettificazione di una circonferenza unitaria, attraverso la determinazione geometrica di un segmento di lunghezza approssimativamente pari a π (cioè la semicirconferenza di un cerchio unitario).

Si costruisca una semicirconferenza $BCD$ di raggio unitario centrata in $A$ e la si inscriva nel rettangolo $BGHD$ . Si tracci il raggio $AE$ che forma rispetto al raggio $AC$ un angolo di $60^{\circ }$ , e lo si prolunghi fino a intercettare il segmento $BG$ nel punto $I$ . Si prolunghi infine $DH$ di un segmento $HL$ di lunghezza pari al diametro della semicirconferenza.

La lunghezza del segmento $IL$ è una approssimazione di π: infatti, riguardando $IL$ come l'ipotenusa del triangolo rettangolo $IKL$ e applicando il teorema di Pitagora si ha che:^[2]

{\begin{aligned}IL&={\sqrt {IK^{2}+KL^{2}}}={\sqrt {2^{2}+\left[\left(1-\tan {30^{\circ }}\right)+2\right]^{2}}}\\&={\sqrt {4+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .\end{aligned}}

Costruzione alternativa

Una costruzione alternativa.

Si costruisca una circonferenza di raggio unitario centrata in $O$ , e si definisca un sistema di riferimento con l'asse delle ordinate passante per il diametro verticale e l'origine posta nel punto $A$ . Si tracci ora il cerchio centrato in $A$ e di raggio unitario; esso intersecherà il primo cerchio nel punto $C\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ . Si tracci il cerchio centrato in $C$ di raggio unitario, che intersecherà il secondo cerchio nel punto $D\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$ . Il segmento che congiunge $O$ e $D$ interseca l'asse delle ascisse passante per $A$ nel punto $E\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$ . Si costruisca infine il punto $F\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$ in modo che si trovi a distanza 3 da $D$ nella direzione positiva delle ascisse.

La lunghezza del segmento $BF$ ottenuto da questa costruzione geometrica è una approssimazione del valore di π, corretta fino alla quarta cifra decimale. Infatti, osservando $BF$ come l'ipotenusa del triangolo rettangolo $BAF$ e applicando il teorema di Pitagora si ha:

BF={\sqrt {2^{2}+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .

^[3]^[4]

Note

^ Adam Adamandy Kochanski, Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae, vol. 4, 1685, pp. 394-398.
^ ^a ^b (EN) Henryk Fukś, Adam Adamandy Kochanski’s approximations of π: reconstruction of the algorithm (PDF), su arxiv.org. URL consultato il 19 giugno 2014.
^ (EN) Eric W. Weisstein, Kochanski's Approximation, in Mathworld, Wolfram Research. URL consultato il 19 giugno 2014.
^ (EN) E. W. Weisstein, Kochansky’s Approximation, in CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics, 2ª ed., Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999], p. 1645, ISBN 1-58488-347-2.