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In matematica, l'approssimazione di Kochański consente di ottenere un valore approssimato di π a partire da una particolare costruzione geometrica. Prende il nome dal religioso gesuita e matematico polacco Adam Adamandy Kochański, che per primo la propose nel suo trattato Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae del 1685, dedicato al problema della rettificazione della circonferenza[1][2].

Indice

CostruzioniModifica

 
La costruzione di Kochański, così come appare nell'Observationes Cyclometricæ.

La costruzione che segue è la versione originale che compare nel trattato di Kochański e fornisce una soluzione al problema della rettificazione di una circonferenza unitaria, attraverso la determinazione geometrica di un segmento di lunghezza approssimativamente pari a π (cioè la semicirconferenza di un cerchio unitario).

Si costruisca una semicirconferenza   di raggio unitario centrata in   e la si inscriva nel rettangolo  . Si tracci il raggio   che forma rispetto al raggio   un angolo di  , e lo si prolunghi fino a intercettare il segmento   nel punto  . Si prolunghi infine   di un segmento   di lunghezza pari al diametro della semicirconferenza.

La lunghezza del segmento   è una approssimazione di π: infatti, riguardando   come l'ipotenusa del triangolo rettangolo   e applicando il teorema di Pitagora si ha che:[2]

 

Costruzione alternativaModifica

 
Una costruzione alternativa.

Si costruisca una circonferenza di raggio unitario centrata in  , e si definisca un sistema di riferimento con l'asse delle ordinate passante per il diametro verticale e l'origine posta nel punto  . Si tracci ora il cerchio centrato in   e di raggio unitario; esso intersecherà il primo cerchio nel punto  . Si tracci il cerchio centrato in   di raggio unitario, che intersecherà il secondo cerchio nel punto  . Il segmento che congiunge   e   interseca l'asse delle ascisse passante per   nel punto  . Si costruisca infine il punto   in modo che si trovi a distanza 3 da   nella direzione positiva delle ascisse.

La lunghezza del segmento   ottenuto da questa costruzione geometrica è una approssimazione del valore di π, corretta fino alla quarta cifra decimale. Infatti, osservando   come l'ipotenusa del triangolo rettangolo   e applicando il teorema di Pitagora si ha:

 [3][4]

NoteModifica

  1. ^ Adam Adamandy Kochanski, Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae, vol. 4, 1685, pp. 394-398.
  2. ^ a b (EN) Henryk Fukś, Adam Adamandy Kochanski’s approximations of π: reconstruction of the algorithm (PDF), su arxiv.org. URL consultato il 19 giugno 2014.
  3. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Kochanski's Approximation, in Mathworld, Wolfram Research. URL consultato il 19 giugno 2014.
  4. ^ (EN) E. W. Weisstein, Kochansky’s Approximation, in CRC Concise Encyclopaedia of Mathematics, 2ª ed., Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999], p. 1645, ISBN 1-58488-347-2.

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