Assioma dell'infinito

assioma che esiste un insieme che contiene tutti i numeri naturali

Nella teoria degli insiemi, l'assioma dell'infinito è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

oppure a parole:

Esiste un insieme tale che l'insieme vuoto è in e tale che ogni volta che è un elemento di l'insieme formato dall'unione di con il suo singoletto è anch'esso un elemento di Tale insieme è talvolta chiamato apodittico[1] o insieme induttivo.

Per comprendere questo assioma, per prima cosa definiamo il successore di come Si noti che l'assioma della coppia ci permette di costruire il singoletto per ogni insieme I successori sono usati per definire i numeri naturali. In questa costruzione, lo zero è l'insieme vuoto (), e 1 è il successore di 0:

Allo stesso modo, 2 è il successore di 1:

e così via. Una conseguenza di questa definizione è che ogni numero naturale è uguale all'insieme di tutti i numeri naturali precedenti.

Potremmo avere la tentazione di formare l'insieme di tutti i numeri naturali ma la sua esistenza non è garantita dagli altri assiomi. L'assioma dell'infinito, assumendo l'esistenza di un insieme apodittico garantisce che l'insieme dei numeri naturali possa essere definito come l'intersezione di tutti gli insiemi apodittici contenuti in L'insieme  ottenuto a partire da sembra dipendere da questo: scegliendo un altro insieme apodittico si potrebbe ottenere in In effetti, basta osservare che è apodittico: quindi da cui segue come e quindi ossia . L'insieme è unico ed esiste grazie all'assioma dell'infinito.

Quindi l'importanza dell'assioma dell'infinto è che consente di affermare che:

Esiste un insieme che contiene tutti i numeri naturali.

L'assioma dell'infinito è anche uno degli assiomi di von Neumann-Bernays-Gödel.

BibliografiaModifica

  • Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero ? Una introduzione all'algebra, Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3

NoteModifica

  1. ^ Luca Barbieri Viale, Che cos'è un numero? : Una introduzione all'algebra, Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3, OCLC 898699172. URL consultato il 17 dicembre 2022.

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