Attrattore di Lorenz

L'attrattore di Lorenz fu il primo esempio di un sistema di equazioni differenziali a bassa dimensionalità in grado di generare un comportamento caotico. Venne scoperto da Edward N. Lorenz, del Massachusetts Institute of Technology, nel 1963.

Immagine di un attrattore di Lorenz (nello spazio delle fasi) generato al computer

Descrizione

Semplificando le equazioni del moto alle derivate parziali che descrivono il movimento termico di convezione di un fluido, Lorenz ottenne un sistema di tre equazioni differenziali del primo ordine:

${\begin{cases}{\dot {x}}&=\sigma (y-x)\\{\dot {y}}&=\rho x-xz-y\\{\dot {z}}&=xy-\beta z\end{cases}}$

dove: $\sigma$ è il numero di Prandtl e $\rho$ è il numero di Rayleigh. $\sigma$, $\rho$ e $\beta$ sono maggiori di 0, ma nella maggior parte dei casi $\sigma =10$ e $\beta ={\frac {8}{3}}$, mentre $\rho$ è variabile.

Sebbene le equazioni, a causa del forte troncamento, descrivano bene il fenomeno di convezione solo per $\rho \approx 1$, esse vengono utilizzate come modello a bassa dimensione per un comportamento caotico, portando il parametro $\rho$ dell'equazione completamente fuori dall'appropriato regime fisico. Volendo però ottenere un modello più fedele per $\rho \neq 1$, bisognerà utilizzare le equazioni nella loro forma non approssimata:

${\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial (\nabla ^{2}\psi )}{\partial t}}+\nu \nabla ^{2}(\nabla ^{2}\psi )+g\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial x}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \theta }{\partial t}}&={\frac {\partial \theta }{\partial z}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+k\nabla ^{2}\theta +{\frac {\Delta T}{H}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\&={\frac {\partial \psi }{\partial x}}\left({\frac {\partial \theta }{\partial z}}+{\frac {\Delta T}{H}}\right)-{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}+k\nabla ^{2}\theta \\\end{aligned}}$

dove $g$ è l'accelerazione di gravità, $\alpha$ il coefficiente di dilatazione termica, $\nu$ la viscosità cinematica, $\kappa$ la conducibilità termica, $\theta$ il campo della temperatura che misura la deviazione dall'equilibrio, e $\Psi$ la funzione di flusso per un moto bidimensionale, tale che i componenti della velocità $\mathbf {u} =(u,v)$ sono definiti come $u={\partial \Psi \over \partial z},w=-{\partial \Psi \over \partial x}$ .

Oggetti geometrici di questo tipo, rappresentativi del moto di un sistema caotico nello spazio delle fasi, vengono detti attrattori strani.

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Comportamento caotico delle equazioni di Lorenz: una piccola differenza nelle condizioni iniziali di due sistemi dà luogo a due traiettorie molto diverse.

L'attrattore del sistema di Lorenz ha dimensione frattale e ha dimensione di Lyapunov uguale a 2,06.

Bibliografia

• Edward Norton Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow, in J. Atmos. Sci., vol. 20, n. 130, 1963.

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