Biforcazione imperfetta

In matematica, una biforcazione è detta imperfetta se il suo studio è riconducibile a quello di una biforcazione canonica a meno di un fattore di disturbo.

Un esempio è dato dall'equazione differenziale della biforcazione pitchfork cui viene aggiunta, come imperfezione, una costante :

Se si perde la simmetria classica dei sistemi con biforcazioni a forcone. Per tale ragione è detto parametro di imperfezione.

Studio della funzioneModifica

L'equazione differenziale è di difficile studio analitico, poiché vi sono due diversi parametri che fanno variare il sistema (ossia   ed  ).

Per ovviare a tale problema si considerano vari grafici con   fissato e si studia geometricamente il sistema al variare del parametro  . In particolare si cercano le intersezioni tra le curve   ed  .

Caso  Modifica

Quando   la cubica   è monotòna non crescente. La linea orizzontale   si interseca con la cubica esattamente in un punto per ogni valore di  .

Caso  Modifica

Quando   la curva non è più monotòna, quindi al variare di   vi sono una, due o tre intersezioni.

Poiché lo studio delle intersezioni è simmetrico rispetto ad  , studiamo i vari casi solo per   (ovvero   ).

Vi sarà un valore critico del parametro,  , in cui la linea orizzontale   è esattamente la tangente alla curva  . Tale valore sarà dato dal massimo (minimo nel lato simmetrico rispetto all'asse delle ascisse) relativo alla cubica.

Per ricavare il valore del massimo e quello di   studiamo la derivata

 

da cui, scegliendo il valore positivo:

 

e quindi:

 

Vediamo che succede diminuendo il parametro  :

  • per   si ha una sola intersezione che corrisponde ad un punto d'equilibrio stabile (la stabilità è facilmente ricavabile sia analiticamente sia geometricamente);
  • per   nasce un nuovo punto d'equilibrio semistabile (instabile a sinistra e stabile a destra) che si aggiunge al punto d'equilibrio stabile già presente;
  • per   vi sono, oltre al primo punto fisso stabile, due punti d'equilibrio distinti: uno più centrale rispetto alla simmetria della cubica instabile e l'altro stabile.

Ovviamente una situazione speculare la si verifica per  .

Per i valori critici   ed   vi è l'improvvisa comparsa/scomparsa di due punti d'equilibrio, ovvero si ha, localmente, una biforcazione saddle-node.

Diagramma di biforcazione vs. Modifica

 
Diagramma di biforcazione pitchfork con fattore di disturbo  

Studiando la stabilità tramite diagramma di biforcazione si vede che, se   si ha il diagramma solito della biforcazione pitchfork, mentre per   si ottengono due curve disgiunte:

  • un ramo stabile definito per ogni  , che tende a   per   e a   per  ;
  • una curva definita per   composta da un ramo stabile ed uno instabile che per   tendono rispettivamente a   (in segno opposto al ramo stabile precedente) e a  .

BibliografiaModifica

  • Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge).

Voci correlateModifica

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