Biforcazione a forcone

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In matematica una biforcazione a forcone (o biforcazione pitchfork) è una biforcazione locale con la particolarità di essere simmetrica. Tale simmetria è dovuta al fatto che le equazioni differenziali ordinali che rappresentano le biforcazioni sono funzioni dispari, ovvero –

Vi sono due tipi di biforcazioni a forcone, molto diverse tra loro: la supercritica e la subcritica.

Biforcazione a forcone supercritica

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Biforcazione a forcone supercritica. Le linee intere rappresentano i punti di equilibrio stabili, mentre quelle spezzate i punti di equilibrio instabili.

La forma normale della biforcazione a forcone supercritica è:

 

Studiando il campo vettoriale al variare di   si vede:

 
Campo vettoriale della biforcazione pitchfork nella forma supercritica
  • quando il parametro è negativo si ha un solo punto di equilibrio stabile in  .
  • Superato il valore critico   (in cui vi è sempre il punto di equilibrio   il quale ha però stabilità molto debole) nascono due nuovi punti equilibrio stabili in corrispondenza dei punti  , mentre il punto   diventa instabile.

Dal diagramma di biforcazione si evince che   è stabile per tutti gli   negativi, mentre diventa instabile appena   diventa positivo. Inoltre per   nascono due nuovi rami che seguono rispettivamente le leggi   e   che donano al diagramma la classica forma di tridente o forcone, da cui il nome.

Biforcazione a forcone subcritica

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Biforcazione a forcone subcritica. Le linee intere rappresentano i punti di equilibrio stabili, mentre quelle spezzate i punti di equilibrio instabili.

La forma normale della biforcazione a forcone subcritica è:

 

Lo studio del campo vettoriale mostra che:

 
Campo vettoriale della biforcazione pitchfork nella forma subcritica
  • Per   vi sono 3 punti di equilibrio: uno stabile ad   e due instabili a  .
  • Nel valore critico di   i 3 punti di equilibrio collidono in un unico punto instabile  .
  • Per   vi è come unico punto di equilibrio  , instabile.

Il diagramma di biforcazione ottenuto è simmetrico a quello della supercritica, con però stavolta i due rami iperbolici instabili. Il ramo   invece resta stabile fino al valore   per poi proseguire instabile.

Biforcazione a forcone subcritica modificata

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In presenza di una biforcazione a forcone subcritica, per ogni   si ha un esplosione della popolazione a   o a   a seconda delle condizioni iniziali e, nel caso questa sia  , delle perturbazioni.

 
Diagramma di biforcazione della pitchfork subcritica modificata con termine di 5º grado. Da notere il fenomeno dell'isteresi.

Poiché biologicamente non ha senso considerare popolazioni infinite, per ovviare all'imperfezione del modello si aggiunge un termine di grado superiore. Per semplicità si sceglie il termine con arturino più basso. Questo è di quinto grado, e non di quarto, al fine di conservare la simmetria caratteristica delle biforcazioni di tipo a forcone. In tal caso la forma normale sarà dunque:

 .

Mentre localmente il diagramma di biforcazione è uguale a quello della subcritica a forcone classica, all'aumentare di   si assiste ad una deviazione dei rami simmetrici ad   che, inoltre, diventano stabili. Tale deviazione avviene, nella forma normale, nel valore critico di  . Per tale valore si ha, in ognuno dei due rami, una biforcazione locale del tipo nodo sella.

Sempre dal diagramma di biforcazione, inoltre, è possibile vedere un esempio di isteresi. Infatti, facendo crescere il valore di   si nota che:

  • per   la popolazione resta in equilibrio sul ramo  ;
  • per   la popolazione rimane prossima ad  , poiché pur essendoci altri due nuovi rami stabili, il sistema non si accorge di esse, a meno di grandi perturbazioni;
  • ad   la popolazione salta ad uno dei rami stabili.

Facendo in seguito decrescere il valore di   osserviamo che:

  • per   la popolazione resta in equilibrio nel ramo stabile;
  • per  , pur essendoci un nuovo ramo stabile ad  , il sistema resta presso il ramo esterno, a meno di grandi perturbazioni;
  • per   si ha la scomparsa dei due rami stabili esterni ed il sistema salta al valore di popolazione  .

Definizione formale

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Data un'equazione differenziale

 

con  , tale che:

 

ovvero   sia una funzione dispari, e

 

ovvero   sia approssimabile secondo Taylor a meno del terzo ordine per   e del secondo ordine per   nel punto   (Nelle forme normali si considera  ).

Sotto tali ipotesi si dice che la funzione ammette una biforcazione a forcone nel punto  , la quale è del tipo

 

Bibliografia

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  • Strogatz S.H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books, Cambridge)

Voci correlate

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