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In meccanica quantistica la buca di potenziale è un potenziale unidimensionale che commuta tra due valori, in corrispondenza di un certo intervallo ; il più piccolo dei due livelli di potenziale può essere sempre posto uguale a zero. Una funzione del tipo:

costituisce una buca di potenziale infinita[1], mentre

definisce una buca di potenziale finita.

Schema del potenziale unidimensionale delle buche di potenziale finita ed infinita.

In modo simile, si possono definire delle buche di potenziale in due o tre dimensioni.

Indice

Buca di potenziale infinitaModifica

L'equazione di Schrödinger stazionaria in una dimensione è in generale

 

dove m è la massa della particella, E l'energia dello stato  .

Come mostrato in figura, il potenziale divide la regione in tre zone: la prima per  , la seconda   e la terza per  ; allora, il problema va trattato in ognuna delle tre zone e le soluzioni vanno poi raccordate in corrispondenza dei punti di separazione.

Chiaramente nella zona   e nella zona   l'unica soluzione per cui   si ha per

 

Nella zona  , l'equazione di Schrödinger, per  , coincide con quella di una particella libera:

 

in cui le energie devono essere positive,  , in modo da avere soluzioni continue e normalizzabili. Possiamo, così, introdurre il vettore d'onda k, tale che  , in modo da riscrivere l'equazione di Schrödinger come:

 

Quest'ultima ha soluzione generale in termini degli esponenziali complessi  :

 

con A, B coefficienti reali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Ma per il nostro problema non esistono stati con  . Quindi imponendo le condizioni al contorno:

 

otteniamo

 

cioè  

Inoltre per

 

da cui sostituendo le espressioni reali tramite la formula di Eulero:

 

Dunque le due soluzioni corrispondono a quest'unica soluzione:

 

dove   a cui corrisponde una quantizzazione dell'energia, cioè la discretizzazione dell'energia della particella dipendente dal numero n = 1, 2, ... intero positivo:

 

Le autofunzioni sono quindi:

 

Imponendo la normalizzazione degli stati, si ottiene la costante A:

 

dalla quale:

 
 
 
Energia potenziale, autofunzioni e densità di probabilità associate allo stato fondamentale e ai primi stati eccitati della buca di potenziale infinita.

Le autofunzioni normalizzate

 

costituiscono una base ortonormale per lo spazio di Hilbert  , essendo:

 

Lo stato fondamentale corrisponde alla scelta n = 1. Seguono gli stati eccitati (vedi figura).

La soluzione completa del problema è esprimibile come sviluppo di autofunzioni dell'energia:

 

dove i coefficienti   sono dati da:

 

i cui moduli quadri rappresentano la probabilità che una misura dell'energia fornisca come risultato:

 

Il valore medio dell'energia si ricava dalla:

 

L'evoluzione temporale della funzione d'onda è la soluzione dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

 

e quindi è:

 

Buca di potenziale finitaModifica

Ridefiniamo la scala delle coordinate in modo che il potenziale sia simmetrico per riflessioni, del tipo  , e ridefiniamo la scala delle energie in modo da avere:

 
Buca di potenziale finita nella vecchia e nella nuova scala delle lunghezze e delle energie.
 

In questo caso l'equazione di Schrödinger nelle zone   e   è del tipo:

 

Poiché

 

l'operatore hamiltoniano commuta con l'operatore parità:

 

Le funzioni d'onda soluzione dell'equazione di Schrödinger sono autofunzioni dell'energia e della parità. Poniamo le due quantità reali:

 
 

l'equazione di Schrödinger si riscrive:

 

Esplicitamente le funzioni d'onda sono date da:

 

dove le autofunzioni:

 

sono a parità pari, mentre

 

sono a parità dispari.

Trattiamo il caso delle autofunzioni pari prendendo gli esponenziali reali:

 

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in   perché la stessa condizione sia soddisfatta in  :

 

da queste due otteniamo:

 

Questa equazione può essere risolta graficamente. Definiamo:

 

da cui:

 

Rappresentando a grafico i due membri dell'equazione:

 

otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

Allo stesso modo nel caso delle autofunzioni dispari:

 

per la parità delle autofunzioni basta imporre la condizione di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima in   perché la stessa condizione sia soddisfatta in  :

 

da queste due otteniamo:

 

La soluzione di questa equazione può essere fatta via grafica, graficando i due membri dell'equazione:

 

che possiamo riscrivere nella forma:

 

Otteniamo dalle intersezioni le soluzioni che corrispondono ai livelli di energia discreti.

 
Energia potenziale e densità di probabilità associate agli autostati dell buca di potenziale finita nel caso y0=6.

Ad esempio, per  , le soluzioni grafiche sono mostrate in figura. Notiamo che ogni autostato è doppiamente degenere.

Le autofunzioni sono quindi:

 

dove   e   sono definite sopra e legate tra loro.

NoteModifica

  1. ^ Sarebbe più corretto dire "buca di potenziale di profondità infinita (o finita)", ma l'espressione più breve è comunemente utilizzata dai fisici.

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