Costante di Gel'fond

La costante di Gel'fond è un numero trascendente il cui valore è e elevato alla π,

e^{\pi }=23,1406926327...

Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.

Il suo sviluppo in frazione continua è

[23,7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,\cdots ].

Dimostrazione della trascendenza

Dalla formula di Eulero si può ricavare che:

e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che $i^{2}=-1$ :

i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}},

cioè

e^{\pi }={\frac {1}{i^{2i}}}=i^{-2i};

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond $e^{\pi }$ non può essere algebrico.

Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},

k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}.

L'espressione

(4/k_{n})^{2^{1-n}}

converge allora rapidamente ad $e^{\pi }$

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}},

dove $\Gamma$ è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:

V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}},

ricordando che $\Gamma (n+1)=n!$ per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi ^{n}}{n!}}=e^{\pi },

perché il secondo membro è lo sviluppo in serie di Taylor dell'esponenziale.

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