Costante di Gel'fond

Costante di Gel'fond
Simbolo
Valore 23,1406926327792690057290...
(sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nome Aleksandr Osipovič Gel'fond
Frazione continua [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...]
(sequenza A058287 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Pi greco, e

La costante di Gel'fond è un numero trascendente definito come e elevato alla π,

Prende il nome dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gel'fond.

La sua espansione in frazione continua è

Dimostrazione della trascendenzaModifica

Dalla formula di Eulero si può ricavare che:

 

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che  :

 

cioè

 

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gel'fond   non può essere algebrico.

CalcoloModifica

Il valore della costante di Gel'fond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

 
 

L'espressione

 

converge allora rapidamente ad  

Proprietà geometricheModifica

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

 

dove   è la funzione gamma. Di conseguenza, se si considerano solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, si ha che:

 

ricordando che   per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

 

perché il secondo membro è l'espansione in serie di Taylor dell'esponenziale.

Collegamenti esterniModifica

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