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In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma:

dove , ogni è un intero, e è diverso da .

In una definizione equivalente si richiede che i coefficienti del polinomio siano numeri razionali. È sufficiente moltiplicare l'identità per un multiplo comune a tutti i denominatori dei coefficienti per ricondursi al caso intero.

Indice

Esempi di numeri algebriciModifica

  • Tutti i numeri razionali sono algebrici perché ogni frazione   è soluzione di  ; di conseguenza anche gli interi sono algebrici: tutti i numeri interi   sono radici dell'equazione  .
  • Alcuni numeri irrazionali come   (la radice quadrata di 2) e  (la radice cubica di 3 divisa per 2) sono algebrici perché radici, rispettivamente, di   e  . In generale sono algebrici i numeri irrazionali definibili tramite radicali e operazioni con numeri interi, anche se non tutte le soluzioni delle equazioni possono essere espresse in questo modo (conseguenza in parte del teorema di Abel-Ruffini). Da notare che gli irrazionali π e e non sono però algebrici: sono cioè trascendenti. In generale, non tutti i reali sono algebrici (come d'altronde non tutti gli algebrici sono reali). Si può affermare che i reali algebrici, ovvero l'intersezione tra algebrici e reali, è formata dagli irrazionali algebrici e dai razionali.
  • L'unità immaginaria ( ) e il suo opposto ( ), soluzioni dell'equazione  , e in generale tutti i numeri complessi  , con   e   razionali, sono algebrici.

Grado di un numero algebricoModifica

Se un numero algebrico soddisfa un'equazione come quella data sopra con un polinomio di grado   e nessuna equazione di grado inferiore, allora si dice che il numero è un numero algebrico di grado  .

Per ogni intero   esistono degli algebrici di grado  : infatti, attraverso il criterio di Eisenstein, è possibile costruire polinomi irriducibili a coefficienti razionali di grado   qualunque: esso sarà il polinomio minimo di qualche algebrico, che sarà quindi di grado  .

Cardinalità dell'insieme dei numeri algebriciModifica

Quello dei numeri algebrici è un insieme numerabile: infatti l'insieme dei polinomi a coefficienti interi (o razionali) è numerabile e le soluzioni di ciascun polinomio sono in numero finito. L'insieme di tutte le soluzioni, essendo unione di una famiglia numerabile di insiemi finiti, è a sua volta numerabile.

Numeri trascendentiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: numero trascendente.

Se un numero reale (o complesso) non è un numero algebrico, viene chiamato numero trascendente. In conseguenza di quanto già detto per gli algebrici, la cardinalità dei numeri trascendenti è pari a quella del campo di partenza.

Il campo dei numeri algebriciModifica

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di due numeri algebrici generano ancora numeri algebrici, pertanto essi formano un campo, indicabile con  . Si può dimostrare che se ammettiamo che i coefficienti   siano numeri algebrici qualsiasi, allora ogni soluzione dell'equazione sarà ancora un numero algebrico. Ciò può essere espresso in altre parole dicendo che il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Infatti, è il più piccolo campo algebricamente chiuso che contiene i numeri razionali, ed è quindi chiamato la chiusura algebrica dei razionali.

Numeri definiti da radicaliModifica

Tutti i numeri che possono essere scritti usando un numero finito di addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni ed estrazioni di radici  -esime (dove   è un intero positivo) sono anche algebrici. L'inverso, tuttavia, non è vero: vi sono numeri algebrici che non possono essere scritti in questa maniera. Si tratta delle soluzioni delle equazioni polinomiali di grado superiore al quarto. Questo è un risultato della teoria di Galois.

Interi algebriciModifica

Un numero algebrico che soddisfa un'equazione polinomiale di grado   con   (cioè, un polinomio monico a coefficienti interi), è chiamato intero algebrico. Esempi di interi algebrici sono   e   e  .

Somma, differenza e prodotto di interi algebrici sono di nuovo interi algebrici, che implica che gli interi algebrici formano un anello. Il nome intero algebrico è dovuto al fatto che gli unici numeri razionali appartenenti a questa classe sono gli interi.

Se   è un campo numerico, il suo anello di interi è il sottoanello degli interi algebrici in  .

Classi speciali di numeri algebriciModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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