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Costante di Gelfond

Costante di Gelfond
Simbolo
Valore 23,1406926327792690057290...
(sequenza A039661 dell'OEIS)
Origine del nome Aleksandr Osipovič Gel'fond
Frazione continua [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, ...]
(sequenza A058287 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti
Costanti correlate Pi greco, e

La costante di Gelfond è un numero trascendente definito come e elevato alla π,

Prende il nome dal matematico Aleksander Gelfond, che nel 1934 ne provò la trascendenza come conseguenza del suo teorema di Gelfond.

La sua espansione in frazione continua è

Dimostrazione della trascendenzaModifica

Dalla formula di Eulero possiamo ricavare che:

 

Elevando entrambi i membri alla i, avremo, ricordando che  :

 

cioè

 

i e -2i sono entrambi numeri algebrici non razionali, e quindi per il teorema di Gelfond   non può essere algebrico.

CalcoloModifica

Il valore della costante di Gelfond può essere calcolato rapidamente usando la seguente sequenza:

 
 

L'espressione

 

converge allora rapidamente ad  

Proprietà geometricheModifica

Il volume di una sfera di dimensione n (un'ipersfera) è dato da

 

dove   è la funzione gamma. Di conseguenza, se consideriamo solo le ipersfere di raggio unitario e dimensione pari, abbiamo che:

 

ricordando che   per n intero. Di conseguenza, sommando questi valori, si ha

 

perché il secondo membro è l'espansione in serie di Taylor dell'esponenziale.

Collegamenti esterniModifica

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