Criterio di Cartan
In matematica, il criterio di Cartan è una condizione che, se soddisfatta, prova che un'algebra di Lie è risolubile. Questo implica anche l'esistenza di un criterio per provare che un'algebra di Lie è semisemplice. È basato sulla nozione di forma di Killing, ed è stato introdotto da Élie Cartan nel 1894.
Criterio di Cartan per la risolubilità
modificaIl criterio afferma che:
- Sia un'algebra di Lie formata da endomorfismi, ovvero sottoalgebra dell'algebra generale lineare definita su uno spazio vettoriale di dimensione finita, su un campo di caratteristica zero. Allora è risolubile se e solo se per ogni si ha .
Applicando il criterio di Cartan alla rappresentazione aggiunta, si ottiene un risultato più generale:
- Sia un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo di caratteristica zero. Allora è risolubile se e solo se , dove è la forma di Killing di
Criterio di Cartan per la semisemplicità
modificaUna conseguenza del criterio è il seguente criterio per la semisemplicità:
- Sia un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo di caratteristica zero. Allora è semisemplice se e solo se la sua forma di Killing è non-degenere
Bibliografia
modifica- Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4